Suites numériques : calcul et limites

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 = 10$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 0.5 u_n + 3$.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite : $u_1$, $u_2$, $u_3$.
2. On définit une nouvelle suite $(v_n)$ par $v_n = u_n - 6$. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
4. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
5. Calculer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.