Fonction exponentielle : (2x-1)e^x

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 1)e^x$.

1. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
2. Calculer la dérivée de $f(x)$ et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
4. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution et donner une valeur approchée de cette solution.