Analyse d'une fonction trigonométrique et de ses variations

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0, 2\pi]$ par $f(x) = \cos(2x) + 2\sin(x)$.

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0, 2\pi]$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0, 2\pi]$. On pourra utiliser la formule de trigonométrie $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$ et $1 - 2\sin^2(x) = \cos(2x)$.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0, 2\pi]$.