Analyse d'une fonction polynomiale

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$.

1. Calculer la dérivée de $f$ et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. Déterminer l'équation de la droite tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$.
4. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle notée $\alpha$, et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0.5.