Modélisation mathématique du lien social et isolement

En sociologie, on modélise l'intégration sociale d'un individu par un indice $LI \in [0, 1]$. On considère que la participation à la vie de la cité est fonction du nombre de interactions réelles $R$ et du nombre de contacts numériques $N$. Soit le modèle $\Delta S = \alpha \cdot \ln(N + 1)$ l'indice d'isolement perçu, et LI = LI_0 \cdot e^{-eta \cdot \Delta S} + \gamma \cdot R, où $LI_0$, $\alpha$, eta et $\gamma$ sont des constantes positives caractéristiques d'un groupe social. 1. Démontrez par le calcul que si $N$ croît de manière exponentielle, $LI$ tend vers une limite dépendante uniquement de $R$. 2. En déduire le risque pour la cohésion sociale si $R$ tend vers 0. 3. Proposez une action civique permettant d'augmenter $\gamma \cdot R$ pour compenser l'effet délétère de $N$.