Suites numériques : récurrence, variation et convergence

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 2$.
2. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour déterminer le sens de variation de la suite.
3. Justifier que la suite converge et déterminer sa limite $L$.