Étude d'une suite récurrente : convergence et limite

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - u_n^2$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $0 < u_n \le \frac{1}{2}$.
2. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
3. Justifier que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $L$.