Étude de fonction : dérivabilité et convexité

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I = ]0; +\infty[$ par $f(x) = x^2 \ln(x) - x^2$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $I$.
2. Étudier la convexité de la fonction $f$. Montrer que la courbe représentative de $f$, notée $C_f$, admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.