Nombres complexes : nature et propriétés d'une transformation

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 1$, $z_B = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_C = 2$. On définit la transformation $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = e^{i\frac{\pi}{3}} z + 1$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'application $f$.
2. Déterminer l'affixe du point $A' = f(A)$.
3. Montrer que le triangle $MA M'$ est équilatéral pour tout point $M$ d'affixe $z$.