Étude d'un circuit RC : charge du condensateur

Un circuit série comprend un générateur idéal de tension de force électromotrice $E = 12,0 \text{ V}$, un conducteur ohmique de résistance $R = 2,2 \text{ k}\Omega$, un condensateur de capacité $C = 470 \text{ } \mu\text{F}$ et un interrupteur. À l'instant $t = 0 \text{ s}$, on ferme l'interrupteur.

1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur.
2. La solution de cette équation est de la forme $u_C(t) = A(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$. Déterminer les expressions de $A$ et de la constante de temps $\tau$ en fonction des paramètres du circuit.
3. Calculer l'énergie stockée par le condensateur $E_c(t)$ à l'instant $t = 2\tau$.