Dérivation sous le signe somme : Intégrale de Dirichlet

Soit la fonction $f$ définie pour tout $y > 0$ par $f(y) = \int_{0}^{+\infty} e^{-yt} \frac{\sin(t)}{t} dt$. 1) En utilisant la règle de Leibniz, montrer que $f'(y) = -\frac{1}{y^2+1}$. 2) En déduire l'expression de $f(y)$ sachant que $\lim_{y \to +\infty} f(y) = 0$. 3) En déduire la valeur de l'intégrale de Dirichlet $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$ en faisant tendre $y$ vers $0^+$.