Minimisation de distance et dérivation

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. On considère le point $A$ de coordonnées $(1, 0)$. On cherche à déterminer le point $M$ de la courbe $C_f$ d'abscisse $x$ tel que la distance $AM$ soit minimale.

1. Exprimer le carré de la distance $d(x) = AM^2$ en fonction de $x$.
2. Calculer la dérivée $d'(x)$.
3. Montrer que $d'(x) = (x-a)(2x^2 + 2x + 2)$ pour une certaine valeur $a$.
4. En déduire les coordonnées du point $M$ minimisant la distance $AM$.
5. Démontrer que la droite $(AM)$ est perpendiculaire à la tangente à $C_f$ au point $M$.