Étude de la convergence d'une suite définie par récurrence

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{3}{u_n}\right)$. 1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq \sqrt{3}$. 2. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour montrer que la suite est décroissante à partir du rang $n=1$. 3. En déduire la convergence de la suite et déterminer sa limite $L$.