Étude de convergence et limites d'une suite récurrente

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation : $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n < 4$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $L$.