Suites numériques : convergence et limite de suite récurrente

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$.

1. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n < 3$.
2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
3. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite $L$.