Quiz Algèbre, Probas, Dérivée (Niveau Master)

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$. Soit $f: V o V$ un endomorphisme de $V$. Si le polynôme caractéristique de $f$ est $P(x) = x^n$, quelle est la seule valeur propre possible pour $f$ ?

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite, c'est-à-dire $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$. Quelle est la valeur de $P(X \le 0)$ ?

Soit $f(x) = e^{-x^2}$. Quelle est la dérivée seconde de $f(x)$ par rapport à $x$ ?

Soit $A$ une matrice carrée de taille $n imes n$. Si $A$ est inversible, que peut-on dire du déterminant de $A$ ?

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes. Si $E[X] = \mu_X$ et $E[Y] = \mu_Y$, quelle est l'espérance du produit $XY$ ?

Soit $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Quel est le domaine de définition de la fonction dérivée $f'(x)$ ?

Soit $A$ une matrice carrée $n imes n$ et $I$ la matrice identité de taille $n imes n$. Si $A^2 = A$, qu'est-ce que $A$ est appelée ?

Soit $X$ une variable aléatoire dont la fonction de masse de probabilité est donnée par P(X=k) = rac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} pour $k \in \{0, 1, 2, \dots\}$, avec $\lambda > 0$. Quelle est cette loi de probabilité ?

Soit f(x) = rac{1}{x}. Quelle est la dérivée de la fonction inverse $f^{-1}(x)$ au point $y=2$ ?

Soit $E$ un espace vectoriel et $u, v \in E$. Si $u$ et $v$ sont linéairement indépendants, quelle est la dimension de l'espace vectoriel engendré par $\{u, v\}$ ?