Exercices de mathematiques : Bac

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$. On souhaite étudier ses variations, ses extrema locaux et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, I, J)$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0, 2\pi]$ par $f(x) = \cos(2x) + 2\sin(x)$.

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0, 2\pi]$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0, 2\pi]$. On pourra utiliser la formule de trigonométrie $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$ et $1 - 2\sin^2(x) = \cos(2x)$.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0, 2\pi]$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$.

1. Calculer la dérivée de $f$ et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. Déterminer l'équation de la droite tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$.
4. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle notée $\alpha$, et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0.5.