Exercices de mathematiques : Dérivée

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x + 1)^3$. Calculer la dérivée de $f$.

Soit la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par :

$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & \text{si } x \ne 0 \ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

1. Étudier la continuité de $f$ en $x=0$.
2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $x=0$. Si elle est dérivable, calculer $f'(0)$.
3. Étudier la continuité de la fonction dérivée $f'$ en $x=0$, si elle existe.

Soit la fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$. Déterminer les points critiques de la fonction $f$ et caractériser leur nature (maximum, minimum ou point selle) en utilisant la matrice Hessienne $H_f(x, y)$.

Soit la fonction $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x, y) = x^2 + 2y^2 - x$. On cherche à déterminer le gradient de cette fonction au point $A(1, 1)$ et à vérifier si ce point correspond à un extremum local de la fonction sur son domaine.

Soit la fonction $f$ définie pour tout $y > 0$ par $f(y) = \int_{0}^{+\infty} e^{-yt} \frac{\sin(t)}{t} dt$. 1) En utilisant la règle de Leibniz, montrer que $f'(y) = -\frac{1}{y^2+1}$. 2) En déduire l'expression de $f(y)$ sachant que $\lim_{y \to +\infty} f(y) = 0$. 3) En déduire la valeur de l'intégrale de Dirichlet $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$ en faisant tendre $y$ vers $0^+$.