Exercices de Mathématiques : Suites : limites et convergence

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 5 \times (0,7)^n$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 2$.
2. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour déterminer le sens de variation de la suite.
3. Justifier que la suite converge et déterminer sa limite $L$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$. 1) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $2 \leq u_n < 4$. 2) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 3) En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$ que l'on déterminera.