Exercices de mathematiques : Equation 1er degree

Considérons l'équation linéaire suivante, où $x$ est l'inconnue et $a$ est un paramètre réel : $(a^2 - 1)x = a - 1$

1. Determiner les valeurs de $a$ pour lesquelles l'equation admet une solution unique.
2. Determiner les valeurs de $a$ pour lesquelles l'equation n'admet aucune solution.
3. Determiner les valeurs de $a$ pour lesquelles l'équation admet une infinité de solutions.

Une entreprise fabrique deux types de produits, P1 et P2. La production de P1 nécessite 2 heures de travail et 1 kg de matière première. La production de P2 nécessite 3 heures de travail et 2 kg de matière première. L'entreprise dispose de 300 heures de travail par semaine et de 160 kg de matière première. Le bénéfice par unité de P1 est de 5€ et par unité de P2 est de 8€. Déterminez le nombre d'unités de chaque produit à fabriquer afin de maximiser le bénéfice total, en considérant que la quantité produite pour chaque produit doit être un entier non négatif.

Une usine fabrique deux types de composants électroniques, A et B. Le composant A nécessite 3 heures de travail et 2 unités de matière première. Le composant B nécessite 2 heures de travail et 4 unités de matière première. L'atelier dispose de 240 heures de travail disponibles par semaine et de 200 unités de matière première. Le bénéfice par composant A est de 50 € et par composant B est de 75 €.

Déterminer le nombre de composants A et B à produire chaque semaine pour maximiser le bénéfice total, tout en respectant les contraintes de production. L'objectif est de formuler ce problème sous la forme d'un système d'équations et d'inéquations du premier degré, puis de résoudre le système pour trouver la solution optimale.