Exercices de mathematiques : Espace Vectoriel

Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f: \mathbb{R} o \mathbb{R}$ dérivables telles que $f'(0) = 0$.

1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
2. Soit $F$ l'ensemble des fonctions $f: \mathbb{R} o \mathbb{R}$ telles que $f(0) = 1$. $F$ est-il un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ?

Soit $E = \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.

On considère l'ensemble $F = \left\{ M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid \text{Tr}(M) = 0 \right\}$, où $\text{Tr}(M)$ désigne la trace de la matrice $M$.

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
2. Donner une base de $F$ et en déduire sa dimension.

Soit $E = \mathbb{R}^3$ l'espace vectoriel usuel. On considère les sous-ensembles suivants de $E$ :

$F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + 2z = 0\}$

$G = \text{Vect}((1, 1, 0), (0, 1, 1))$

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
2. Donner une base de $F$ et déterminer sa dimension.
3. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
4. Donner une base de $G$ et déterminer sa dimension.
5. Déterminer une base de $F + G$ et sa dimension.

Soit $\mathbb{R}^3$ l'espace vectoriel usuel sur $\mathbb{R}$. On considère l'ensemble $\mathcal{F}$ défini par : $\mathcal{F} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + 2z = 0 \}$.

1. Montrer que $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
2. Déterminer une base de $\mathcal{F}$ et calculer sa dimension.
3. Soit $\vec{u} = (1, 1, 0)$ et $\vec{v} = (2, 0, -1)$. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ appartiennent-ils à $\mathcal{F}$ ? Si oui, exprimer $\vec{w} = (3, 1, -1)$ comme une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$. $\vec{w}$ appartient-il à $\mathcal{F}$ ?

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$, et soit $f: E \to E$ un endomorphisme de $E$. On suppose que $f \circ f = f$. Soit $A$ la matrice de $f$ dans une base quelconque de $E$.

1. Montrer que $f$ est une projection vectorielle.
2. Quelle est la relation entre la matrice $A$ et la matrice identité $I_n$ ?
3. Soit $E = \mathbb{R}^3$ et $f$ un endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est donnée par $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. a) Vérifier que $f \circ f = f$. b) Déterminer l'image et le noyau de $f$. c) Donner une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale. Donner cette matrice diagonale.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3 sur $\mathbb{R}$, et soit $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ une base de $E$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ est donnée par : $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 0 & 3 & 1 \ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.

1. Montrer que $f$ est un automorphisme de $E$.
2. Déterminer la matrice de $f^{-1}$ dans la base $\mathcal{B}$.
3. Soit $\vec{u} = e_1 + 2e_2 - e_3$ et $\vec{v} = e_2 + e_3$. Calculer les coordonnées de $f(\vec{u})$ et $\vec{u} + f(\vec{v})$ dans la base $\mathcal{B}$.
4. Déterminer une base du noyau et une base de l'image de $f$.