Exercices de mathematiques : Les Dérivées

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 - 3x + 1)e^x$.

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
2. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ en étudiant le signe de $f'(x)$.
3. Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 0$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ afin de déterminer les variations de $f$.
3. Donner une équation de la droite $T$ tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$.

Soit la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x \ln(x) - x$.

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0; +\infty[$.
3. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
4. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.