Exercices de mathematiques : Probabilités et prise de décision

On étudie un test de dépistage d’une maladie M dans une population.

• La proportion de personnes atteintes est P(M) = 2%.
• La sensibilité du test est de 95% : P(T+ | M) = 0,95.
• La spécificité du test est de 98% : P(T- | \overline{M}) = 0,98.

On note T+ l’événement « le test est positif » et T- l’événement « le test est négatif ».

1. Calculer P(T+).
2. Calculer P(M | T+), c’est-à-dire la probabilité qu’une personne soit réellement malade sachant que son test est positif.
3. Un médecin décide de prescrire un examen complémentaire (plus coûteux) uniquement si la probabilité P(M | T+) est au moins de 50%. D’après le calcul précédent, cette règle conduit-elle à prescrire l’examen complémentaire après un test positif ? Justifier.
4. On envisage un dépistage en deux étapes : si le premier test est positif, on refait immédiatement le même test une deuxième fois (on suppose les deux tests indépendants conditionnellement à l’état de santé). On considère alors la règle : « examen complémentaire seulement si les deux tests sont positifs ». Calculer P(M | T+\cap T+). Conclure sur l’intérêt de cette stratégie pour la prise de décision.

Une maladie touche 2% de la population. Un test de dépistage est utilisé :

• Si une personne est malade, le test est positif dans 95% des cas (sensibilité).
• Si une personne n’est pas malade, le test est négatif dans 97% des cas (spécificité).

On choisit une personne au hasard dans la population et on note : M : « la personne est malade », et T : « le test est positif ».

1. Construire un arbre de probabilités et compléter les probabilités des branches.
2. Calculer la probabilité P(T) d’obtenir un test positif.
3. Calculer la probabilité P(M|T) que la personne soit malade sachant que le test est positif.
4. Prise de décision : le médecin propose un examen de confirmation (plus coûteux) uniquement si P(M|T) ≥ 40%. Décider si, avec ce test, un test positif suffit à déclencher l’examen de confirmation.

On pourra donner les résultats sous forme décimale puis en pourcentage (arrondis au dixième de pourcent).

Un test de dépistage d’une maladie est utilisé dans une population. On sait que :

• 2 % des personnes sont atteintes par la maladie.
• Si une personne est malade, le test est positif dans 95 % des cas.
• Si une personne n’est pas malade, le test est négatif dans 98 % des cas.

On choisit une personne au hasard et on note : M : « la personne est malade » ; T : « le test est positif ».

1. Construire un arbre de probabilités décrivant la situation.
2. Calculer la probabilité que le test soit positif, P(T).
3. Calculer la probabilité qu’une personne soit malade sachant que le test est positif, P(M | T). Arrondir à 10^-3.
4. Un médecin décide de proposer un examen complémentaire (plus lourd) uniquement si P(M | T) est supérieure ou égale à 0,50. Avec ce test, le médecin proposera-t-il l’examen complémentaire après un résultat positif ? Justifier.