Exercices de mathematique : Suite

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 = 5$ et pour tout $n \ge 0$, $u_{n+1} = 0.5 u_n + 3$.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite, c'est-à-dire $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. On conjecture que la suite $(u_n)$ est convergente. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée.
3. Pour étudier la convergence, on définit une suite auxiliaire $(v_n)$ par $v_n = u_n - 6$. a. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. c. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

On considère la suite arithmétique $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 = 5$ et sa raison $r = 3$.

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite, c'est-à-dire $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. Donner la formule explicite du terme général $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer le 10ème terme de la suite, $u_{10}$.
4. Déterminer le rang $n$ pour lequel le terme $u_n$ est égal à 53.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 = 10$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 0.5 u_n + 3$.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite : $u_1$, $u_2$, $u_3$.
2. On définit une nouvelle suite $(v_n)$ par $v_n = u_n - 6$. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
4. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
5. Calculer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.