Exercices de mathematiques : suites

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 = 5$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 0.8 u_n + 2$.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite, c'est-à-dire $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. On souhaite étudier la convergence de cette suite. Pour cela, on définit une nouvelle suite $(v_n)$ par $v_n = u_n - 10$. a. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$. b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. c. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

On considère deux suites de nombres réels $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n \ge 0$. La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 1.5$.

1. Calculer les termes $u_1, u_2$ et $v_1, v_2$.
2. Donner les expressions générales de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer $u_{20}$ et $v_{10}$.
4. Existe-t-il un terme de la suite $(u_n)$ qui soit égal à 50 ? Si oui, lequel ?