Exercices de Mathématiques : Échantillonnage

Un fabriquant de pièces mécaniques affirme que le taux de pièces défectueuses dans sa production est de $p = 0,05$. On prélève un échantillon aléatoire de taille $n = 100$ pièces. On note $F$ la fréquence de pièces défectueuses observées dans cet échantillon. Calculez les bornes de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ défini par $I = [p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$.

Une fabrique de composants affirme que le taux de pièces défectueuses est de $p = 0,05$. Un technicien prélève au hasard un échantillon de $n = 100$ pièces et trouve $8$ pièces défectueuses. La fréquence observée est $f = 0,08$. En utilisant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$, peut-on remettre en cause l'affirmation du fabricant ?

Lors d'une élection, un institut de sondage interroge un échantillon aléatoire de $n=400$ électeurs. Il observe que $188$ personnes ont l'intention de voter pour le candidat A. L'institut affirme que la proportion réelle $p$ de votants pour ce candidat dans la population totale est de $45\%$. À l'aide de l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$, déterminez si cette affirmation est compatible avec les résultats observés dans l'échantillon.