Exercices de Mathématiques : Fonctions de référence

Soit la fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. 1) Calculez l'image de $-3$ et de $5$ par la fonction $f$. 2) Déterminez les antécédents éventuels de $16$ par la fonction $f$.

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]0; +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x}$. On considère également la droite $(d)$ d'équation $y = \frac{1}{4}x$. 1) Déterminer graphiquement ou par le calcul les coordonnées du point d'intersection entre la courbe représentative de $f$ et la droite $(d)$. 2) Résoudre dans $I$ l'inéquation $f(x) \leq \frac{1}{4}x$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$ et $g(x) = \frac{2}{x}$.

1. Montrer que chercher les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ revient à résoudre l'équation $h(x) = 0$ où $h(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x - 2}{x}$.
2. Montrer que le réel $x = 1$ n'est pas solution de l'équation $h(x) = 0$.
3. Déterminer la valeur de $h(2)$ et conclure sur la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $x = 2$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$ et $g(x) = \frac{2}{x}$.

1. Montrer que chercher les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ revient à résoudre l'équation $h(x) = 0$ où $h(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x - 2}{x}$.
2. Montrer que le réel $x = 1$ n'est pas solution de l'équation $h(x) = 0$.
3. Déterminer la valeur de $h(2)$ et conclure sur la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $x = 2$.