Exercices de Mathématiques : Géométrie dans l'espace

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère le point $A(1; 2; -1)$ et le vecteur $\vec{n}(2; -1; 3)$. Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ passant par le point $A$ et admettant $\vec{n}$ comme vecteur normal.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 2; -1)$, $B(3; 0; 1)$ et $C(2; -1; 3)$. 1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $A$ et dirigée par le vecteur $\vec{u} = \vec{AB}$. 2) Montrer que la droite $(d)$ est orthogonale au vecteur $\vec{n}(1; 1; 0)$. 3) Déterminer les coordonnées du point $D$ appartenant à la droite $(d)$ tel que la droite $(CD)$ soit orthogonale à $(d)$.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère le point $A(1; 2; -1)$ et la droite $(d)$ passant par le point $B(0; 1; 2)$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}(1; 1; -2)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
2. Soit $(P)$ le plan passant par le point $A$ et orthogonal à la droite $(d)$. Déterminer une équation cartésienne de $(P)$.
3. Calculer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $(d)$ et du plan $(P)$.
4. En déduire la distance du point $A$ à la droite $(d)$.