Exercices de Mathématiques : La fonction logarithme

Résoudre dans l'ensemble $I = ]0 ; +\infty[$ l'équation suivante : $2 \ln(x) + 3 = 7$.

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 - 4\ln(x)$. 1) Déterminer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$. 2) Résoudre dans $]0 ; +\infty[$ l'équation $f(x) = 0$ n'est pas demandée, mais résoudre l'inéquation $f'(x) \ge 0$ pour en déduire les variations de $f$. 3) Résoudre l'équation $\ln(x^2) = 2$.

Soit $f$ la fonction définie sur $I = ]0, 1[ \\\cup ]1, +\infty[$ par $f(x) = \\frac{\\\ln(x)}{x^2 - 1}$. \n1. En utilisant le taux d'accroissement de la fonction $u(x) = \\\ln(x)$ en $a = 1$, déterminer la limite de $f(x)$ quand $x \\to 1$. \n2. Soit l'équation $(E) : \\\ln(x)^2 + 2\\\ln(x) - 3 = 0$ pour $x \\\in ]0, +\infty[$. Résoudre $(E)$ et justifier l'appartenance des solutions au domaine de définition.