Exercices de mathematiques : la fonction logarithme

Résoudre dans l'ensemble $I = ]0 ; +\infty[$ l'équation suivante : $2 \ln(x) + 3 = 7$.

Résoudre dans l'ensemble $I = ]0 ; +\infty[$ l'équation suivante : $2 \ln(x) + 3 = 7$.

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 - 4\ln(x)$. 1) Déterminer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$. 2) Résoudre dans $]0 ; +\infty[$ l'équation $f(x) = 0$ n'est pas demandée, mais résoudre l'inéquation $f'(x) \ge 0$ pour en déduire les variations de $f$. 3) Résoudre l'équation $\ln(x^2) = 2$.

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 - 4\ln(x)$. 1) Déterminer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$. 2) Résoudre dans $]0 ; +\infty[$ l'équation $f(x) = 0$ n'est pas demandée, mais résoudre l'inéquation $f'(x) \ge 0$ pour en déduire les variations de $f$. 3) Résoudre l'équation $\ln(x^2) = 2$.

Une population de bactéries évolue selon un modèle de croissance où le nombre de bactéries $N(t)$ à l'instant $t$ (exprimé en heures) est donné par la fonction $N(t) = 1000 \cdot e^{0.5t}$, pour $t \ge 0$.

1. Calculer le nombre de bactéries au bout de 4 heures. Donner le résultat arrondi à l'entier le plus proche.
2. Déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne 100 000 bactéries. Exprimer le résultat en heures, arrondi à deux décimales.
3. On souhaite modéliser cette croissance en utilisant la fonction logarithme. Soit $f(t) = \ln(N(t))$. a) Exprimer $f(t)$ en fonction de $t$. b) Montrer que la fonction $f$ est une fonction affine. Préciser sa pente et son ordonnée à l'origine. c) Utiliser cette nouvelle représentation pour retrouver le résultat de la question 2.

Soit $f$ la fonction définie sur $I = ]0, 1[ \\\cup ]1, +\infty[$ par $f(x) = \\frac{\\\ln(x)}{x^2 - 1}$. \n1. En utilisant le taux d'accroissement de la fonction $u(x) = \\\ln(x)$ en $a = 1$, déterminer la limite de $f(x)$ quand $x \\to 1$. \n2. Soit l'équation $(E) : \\\ln(x)^2 + 2\\\ln(x) - 3 = 0$ pour $x \\\in ]0, +\infty[$. Résoudre $(E)$ et justifier l'appartenance des solutions au domaine de définition.