Exercices de Mathématiques : Le théorème de Thalès

Soit un triangle $ABC$. Soit $M$ un point du segment $[AB]$ et $N$ un point du segment $[AC]$ tels que la droite $(MN)$ soit parallèle à la droite $(BC)$. On donne les longueurs suivantes : $AM = 3 \text{ cm}$, $AB = 5 \text{ cm}$, $AC = 7 \text{ cm}$ et $BC = 10 \text{ cm}$. Calculer la longueur $AN$ puis la longueur $MN$.

Soient deux droites $(AC)$ et $(BD)$ qui se coupent en un point $E$. On sait que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne les longueurs suivantes : $EA = 4$ cm, $EC = 6$ cm, $ED = 9$ cm et $AB = 3$ cm. Calcule la longueur du segment $[CD]$.

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. On place un point $M$ sur le segment $[AB]$ tel que $AM = x$. On trace la parallèle à la droite $(AC)$ passant par $M$, qui coupe le segment $[BC]$ en un point $N$. 1) Exprimer la longueur $MN$ en fonction de $x$. 2) Sachant que l'on veut construire un rectangle $AMNP$ avec $P$ sur $[AC]$, déterminer la valeur de $x$ pour que l'aire du rectangle $AMNP$ soit égale à $9$ $cm^2$.