Exercices de Mathématiques : Limites de fonctions

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{3x^2 - 5x + 2}{x^2 + 1}$. Déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1; +\infty[$ par : $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1}$. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $1^+$ et lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]0; +\infty[$ par $f(x) = \frac{x^2 + \sin(x)}{e^x - x}$. Montrer que la limite de $f$ en $+\infty$ existe et vaut $0$ en utilisant un encadrement rigoureux de la fonction $f(x)$ sur l'intervalle $[1; +\infty[$.