Exercices de Mathématiques : Primitives et équations différentielles

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2 + 4x$.

1. Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie $F(1) = 0$.
2. Résoudre l'équation différentielle $y' = 3x^2 + 4x$ avec la condition initiale $y(1) = 0$.

On considère l'équation différentielle $(E) : y' + 2y = 4x + 2$.

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
2. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 3$.
3. Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = (2x+1)e^{2x}$. Calculer la primitive $G$ de $g$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $0$.

Soit l'équation différentielle $(E) : y' + 2y = 4x + 2$. On cherche la solution $f$ définie sur $\mathbb{R}$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 3$. 1) Déterminer la forme générale des solutions de l'équation homogène associée $(E_0) : y' + 2y = 0$. 2) Déterminer une solution particulière de la forme $y_p(x) = ax + b$. 3) En déduire la solution particulière $f$ vérifiant $f(0) = 3$.