Ensembles de nombres et calcul numérique

Le calcul numérique en seconde repose sur la maîtrise des ensembles de nombres $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ . La valeur absolue $|x|$ représente la distance d'un nombre à zéro sur la droite graduée. Les intervalles permettent d'écrire des encadrements de façon concise. On distingue l'intersection ( $\cap$ ), les éléments communs, de la réunion ( $\cup$ ), tous les éléments réunis. La manipulation des inégalités nécessite de toujours appliquer la même opération des deux côtés. Enfin, le passage entre forme algébrique et géométrique est essentiel pour résoudre des équations ou inéquations.

Maîtrise des opérations élémentaires sur les fractions

Connaissance des puissances de 10

Lecture et tracé sur une droite graduée

Hiérarchie des ensembles : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Utilisation du symbole $\in$ pour l'appartenance

Distance entre deux réels $a$ et $b$ est $|a-b|$

Interprétation graphique sur la droite réelle

Passage de l'inégalité à l'intervalle

Représentation graphique

Classification hiérarchique des nombres : Entiers naturels $\mathbb{N}$ , relatifs $\mathbb{Z}$ , décimaux $\mathbb{D}$ , rationnels $\mathbb{Q}$ et réels $\mathbb{R}$ .

$-5 \in \mathbb{Z}$ mais $-5 otin \mathbb{N}$ .

La distance à zéro d'un réel $x$ , notée $|x|$ . Elle est définie par $|x|=x$ si $x \ge 0$ et $|x|=-x$ si $x < 0$ .

$|-3| = 3$ et $|5| = 5$ .

L'intersection $\cap$ est l'ensemble des éléments communs, la réunion $\cup$ est l'ensemble des éléments présents dans l'un OU l'autre.

$[1, 3] \cap [2, 4] = [2, 3]$

Déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que $|x - 2| \le 3$ .

Étape 1 : Interpréter comme une distance : la distance entre $x$ et $2$ doit être inférieure ou égale à $3$ .

Étape 2 : Traduire en inégalité : $-3 \le x - 2 \le 3$ .

Étape 3 : Ajouter $2$ à chaque membre : $-3 + 2 \le x \le 3 + 2$ .

Résultat : $x \in [-1, 5]$ .

$\cap$ ressemble à un pont (ce qui relie les deux), $\cup$ ressemble à un bol (on met tout dedans).

C'est comme le compteur kilométrique d'une voiture : il ne peut jamais afficher une valeur négative.

Confondre l'appartenance $\in$ et l'inclusion $\subset$ .

$\in$ s'utilise entre un élément et un ensemble ( $2 \in \mathbb{R}$ ), $\subset$ s'utilise entre deux ensembles ( $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ ).

Calculer $|x-y|$ comme $|x| - |y|$ .

C'est faux en général. Il faut d'abord calculer la différence $x-y$ puis prendre la valeur absolue.

Quel est le plus petit ensemble contenant les racines carrées ?

Définition de $|x-a| \le r$ avec $r > 0$ .

Quelles sont les bornes de $[a, b] \cup [c, d]$ si les intervalles sont disjoints ?

Le symbole $- \infty$ est-il un nombre réel ?

Si $|x| = 5$ , quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

Comprendre le cours

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Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

Prérequis

Structure du cours

Les ensembles de nombres

Valeur absolue et distance

Intervalles et encadrements

Notions clés

Ensembles de nombres

Valeur absolue

Intersection et Réunion

Exemple résolu

Astuces & analogies

Intersection vs Réunion

Valeur absolue

Erreurs fréquentes

Flashcards

Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)

Géométrie dans l'espace : droites et plans