Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)
La loi binomiale modélise le nombre de succès dans répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité . On note . La probabilité d'obtenir exactement succès est donnée par la formule . L'espérance de cette variable aléatoire est . Pour effectuer les calculs, on utilise la calculatrice ou des tables statistiques. Il est crucial de vérifier l'indépendance des épreuves avant toute modélisation.
Le résumé
Comprendre le cours
La loi binomiale modélise le nombre de succès dans répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité . On note . La probabilité d'obtenir exactement succès est donnée par la formule . L'espérance de cette variable aléatoire est . Pour effectuer les calculs, on utilise la calculatrice ou des tables statistiques. Il est crucial de vérifier l'indépendance des épreuves avant toute modélisation.
Avant de commencer
Prérequis
Maîtrise des probabilités conditionnelles
Indépendance d'événements
Calculs de factorielles et combinatoire de base
Le plan
Structure du cours
- 1
Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale
Définition de l'épreuve de BernoulliRépétition d'épreuves identiquesUne épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès () ou échec ().
Un schéma de Bernoulli est la répétition de épreuves indépendantes.
- 2
La variable aléatoire $$X$$
Définition de $$X$$Paramètres $$n$$ et $$p$$compte le nombre de succès dans une suite de épreuves.
La loi de est notée .
- 3
Propriétés et calculs
Formule des probabilitésEspérance et varianceLa probabilité d'obtenir exactement succès est .
L'espérance est .
À retenir
Notions clés
Coefficient binomial
À mémoriserLe nombre de chemins réalisant succès parmi répétitions, noté .
Loi Binomiale $$\mathcal{B}(n, p)$$
À mémoriserLoi de probabilité d'une variable aléatoire comptant le nombre de succès en épreuves de Bernoulli de paramètre .
Lancer fois une pièce équilibrée :
Espérance
À mémoriserLa valeur moyenne attendue de succès sur le long terme : .
Pour et , .
En pratique
Exemple résolu
Un QCM comporte questions. Chaque question a choix dont un seul est vrai. Un élève répond au hasard.
- 1
Étape 1 : Identifier les paramètres. Chaque question est une épreuve de Bernoulli avec et .
- 2
Étape 2 : Définir la variable aléatoire comptant les bonnes réponses.
- 3
Étape 3 : Calculer la probabilité d'avoir exactement bonnes réponses : .
- 4
Résultat : .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Coefficient binomial $$\binom{n}{k}$$
Pensez au triangle de Pascal : chaque nombre est la somme des deux au-dessus.
Paramètres de la loi binomiale
La loi est un 'Bilan' : (nombre d'essais) et (probabilité de succès) sont les deux colonnes du bilan.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Confondre avec
Le symbole désigne la probabilité d'obtenir exactement succès, tandis que désigne la somme cumulative des probabilités de à .
Oublier l'indépendance
La loi binomiale nécessite impérativement l'indépendance des épreuves (souvent garantie par un tirage avec remise).
Se tester
Flashcards
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