Sommes de variables aléatoires : espérance et variance
La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : , peu importe la dépendance. D'autre part, la variance suit une loi additive exclusivement sous condition d'indépendance des variables. Toute transformation affine impacte l'espérance par et la variance par . Il est crucial de ne jamais appliquer l'additivité de la variance sans vérifier l'indépendance. Ces propriétés permettent de simplifier l'étude de sommes complexes, comme dans le cas de lois binomiales.
Le résumé
Comprendre le cours
La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : , peu importe la dépendance. D'autre part, la variance suit une loi additive exclusivement sous condition d'indépendance des variables. Toute transformation affine impacte l'espérance par et la variance par . Il est crucial de ne jamais appliquer l'additivité de la variance sans vérifier l'indépendance. Ces propriétés permettent de simplifier l'étude de sommes complexes, comme dans le cas de lois binomiales.
Avant de commencer
Prérequis
Notion de variable aléatoire réelle
Calcul d'espérance et de variance
Définition de l'indépendance de deux événements
Le plan
Structure du cours
- 1
Linéarité de l'espérance
Espérance de la sommeEspérance d'une transformation affineL'espérance d'une somme est la somme des espérances :
La propriété est vraie que les variables soient indépendantes ou non
- 2
Variance d'une somme
Cas des variables indépendantesFormule généraleSi et sont indépendantes, alors
La variance ne possède pas la linéarité simple de l'espérance
À retenir
Notions clés
Linéarité de l'espérance
À mémoriserPour toutes variables aléatoires et , .
Si on lance deux dés, l'espérance totale est la somme des espérances de chaque dé.
Indépendance
À mémoriserDeux variables et sont indépendantes si pour tout , .
Résultats de deux lancers de pièces successifs.
Variance de la somme
À mémoriserSi et sont indépendantes, .
La variance du gain total d'un jeu est la somme des variances de chaque partie indépendante.
En pratique
Exemple résolu
Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces () et un dé équilibré à 4 faces (). On cherche et en supposant l'indépendance.
- 1
Étape 1 : Calculer et . Donc .
- 2
Étape 2 : Calculer les variances et .
- 3
Résultat : Comme ils sont indépendants, .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Linéarité
L'espérance est 'distributive' : elle se répartit sur tout le monde, qu'ils soient amis (indépendants) ou ennemis (dépendants).
Variance
La variance est 'sélective' : elle n'accepte de s'additionner que si les variables sont indépendantes.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Croire que est toujours vrai.
Cette formule est FAUSSE si et ne sont pas indépendantes. La formule générale inclut la covariance.
Confondre avec .
L'espérance du produit est seulement si et sont indépendantes, mais la somme est toujours linéaire.
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