MathématiquesTerminale

Nombres complexes et géométrie : affixes et transformations

Le chapitre lie nombres complexes et géométrie plane. Chaque point est une affixe $z = x + iy$ . La distance entre deux points $A$ et $B$ est $|z_B - z_A|$ . L'angle de deux vecteurs est lié à l'argument du quotient $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}$ . Les transformations comme la rotation se traduisent par des relations linéaires de type $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ . Ces outils permettent de caractériser géométriquement des triangles ou des alignements.

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise des formes algébriques $x + iy$
Opérations sur les nombres complexes
Notions de vecteurs dans le plan

Le plan

Structure du cours

1
Interprétation géométrique
Affixe d'un point et d'un vecteurDistance et argument
- L'affixe $z_M = x + iy$ représente le point $M(x, y)$ dans le plan complexe.
- L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$ .
- La distance $AB$ est égale au module $|z_B - z_A|$ .
- L'argument $\text{arg}(z_B - z_A)$ correspond à une mesure de l'angle $(u, \vec{AB})$ .
2
Transformations géométriques
TranslationsRotationsHomothéties
- Une translation est caractérisée par $z' = z + b$ .
- Une rotation de centre $\Omega$ (affixe $\omega$ ) et d'angle $\theta$ est $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .
- Une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ est $z' - \omega = k(z - \omega)$ .

À retenir

Notions clés

Module et Argument

À mémoriser

Pour tout complexe $z$ , $|z|$ représente la distance $OM$ et $\theta = \text{arg}(z)$ représente l'angle orienté $(u, \vec{OM})$ .

Exemple

Si $z = 1 + i$ , alors $|z| = \sqrt{2}$ et $\text{arg}(z) = \frac{\pi}{4}$ .

Condition d'alignement et d'orthogonalité

À mémoriser

Trois points $A, B, C$ sont alignés si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ . Ils forment un angle droit en $A$ si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est imaginaire pur.

Exemple

Si le quotient est $2i$ , alors $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux.

Forme exponentielle

À mémoriser

Tout complexe non nul s'écrit $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$ .

Exemple

$z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ .

En pratique

Exemple résolu

Déterminer la nature du triangle $ABC$ avec $z_A = 1$ , $z_B = i$ , $z_C = 1 + 2i$ .

1
Étape 1 : Calculer le quotient $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{1 + 2i - 1}{i - 1} = \frac{2i}{-1 + i}$ .
2
Étape 2 : Simplifier en multipliant par le conjugué : $\frac{2i(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-2i + 2}{1 + 1} = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ .
3
Résultat : Comme le quotient n'est ni réel ni imaginaire pur, le triangle n'est ni plat ni rectangle en A.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Rotation

Pensez à la rotation comme une multiplication par un nombre de module 1, ce qui tourne le vecteur sans changer sa longueur.

Argument

L'argument est l'angle, comme la direction d'une aiguille de boussole par rapport à l'axe réel.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre $\text{arg}(z_B - z_A)$ avec l'angle $\widehat{ABC}$ directement.

$\text{arg}(z_B - z_A)$ est l'angle $(u, \vec{AB})$ . Pour l'angle $\widehat{ABC}$ , il faut calculer $\text{arg}(\frac{z_C - z_B}{z_A - z_B})$ .

Oublier la condition $z \neq \omega$ dans les transformations.

Le centre de la transformation est le seul point invariant ( $z = z'$ ).

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

Continuer à réviser

Terminale

Mathématiques

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

Géométrie dans l'espace : droites et plans

La géométrie dans l'espace étend le calcul vectoriel à trois dimensions. On utilise un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ pour défin...

3 notions5 cartes

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1
Interprétation géométrique
Affixe d'un point et d'un vecteurDistance et argument
- L'affixe $z_M = x + iy$ représente le point $M(x, y)$ dans le plan complexe.
- L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$ .
- La distance $AB$ est égale au module $|z_B - z_A|$ .
- L'argument $\text{arg}(z_B - z_A)$ correspond à une mesure de l'angle $(u, \vec{AB})$ .
2
Transformations géométriques
TranslationsRotationsHomothéties
- Une translation est caractérisée par $z' = z + b$ .
- Une rotation de centre $\Omega$ (affixe $\omega$ ) et d'angle $\theta$ est $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .
- Une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ est $z' - \omega = k(z - \omega)$ .

À retenir

Notions clés

Module et Argument

À mémoriser

Pour tout complexe $z$ , $|z|$ représente la distance $OM$ et $\theta = \text{arg}(z)$ représente l'angle orienté $(u, \vec{OM})$ .

Exemple

Si $z = 1 + i$ , alors $|z| = \sqrt{2}$ et $\text{arg}(z) = \frac{\pi}{4}$ .

Condition d'alignement et d'orthogonalité

À mémoriser

Trois points $A, B, C$ sont alignés si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ . Ils forment un angle droit en $A$ si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est imaginaire pur.

Exemple

Si le quotient est $2i$ , alors $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux.

Forme exponentielle

À mémoriser

Tout complexe non nul s'écrit $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$ .

Exemple

$z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ .

En pratique

Exemple résolu

Déterminer la nature du triangle $ABC$ avec $z_A = 1$ , $z_B = i$ , $z_C = 1 + 2i$ .

1
Étape 1 : Calculer le quotient $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{1 + 2i - 1}{i - 1} = \frac{2i}{-1 + i}$ .
2
Étape 2 : Simplifier en multipliant par le conjugué : $\frac{2i(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-2i + 2}{1 + 1} = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ .
3
Résultat : Comme le quotient n'est ni réel ni imaginaire pur, le triangle n'est ni plat ni rectangle en A.

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Rotation

Pensez à la rotation comme une multiplication par un nombre de module 1, ce qui tourne le vecteur sans changer sa longueur.

Argument

L'argument est l'angle, comme la direction d'une aiguille de boussole par rapport à l'axe réel.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre $\text{arg}(z_B - z_A)$ avec l'angle $\widehat{ABC}$ directement.

$\text{arg}(z_B - z_A)$ est l'angle $(u, \vec{AB})$ . Pour l'angle $\widehat{ABC}$ , il faut calculer $\text{arg}(\frac{z_C - z_B}{z_A - z_B})$ .

Oublier la condition $z \neq \omega$ dans les transformations.

Le centre de la transformation est le seul point invariant ( $z = z'$ ).

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