Nombres complexes et géométrie : affixes et transformations

Le chapitre lie nombres complexes et géométrie plane. Chaque point est une affixe $z = x + iy$ . La distance entre deux points $A$ et $B$ est $|z_B - z_A|$ . L'angle de deux vecteurs est lié à l'argument du quotient $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}$ . Les transformations comme la rotation se traduisent par des relations linéaires de type $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ . Ces outils permettent de caractériser géométriquement des triangles ou des alignements.

Maîtrise des formes algébriques $x + iy$

Opérations sur les nombres complexes

Notions de vecteurs dans le plan

L'affixe $z_M = x + iy$ représente le point $M(x, y)$ dans le plan complexe.

L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$ .

La distance $AB$ est égale au module $|z_B - z_A|$ .

L'argument $\text{arg}(z_B - z_A)$ correspond à une mesure de l'angle $(u, \vec{AB})$ .

Une translation est caractérisée par $z' = z + b$ .

Une rotation de centre $\Omega$ (affixe $\omega$ ) et d'angle $\theta$ est $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ .

Une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ est $z' - \omega = k(z - \omega)$ .

Pour tout complexe $z$ , $|z|$ représente la distance $OM$ et $\theta = \text{arg}(z)$ représente l'angle orienté $(u, \vec{OM})$ .

Si $z = 1 + i$ , alors $|z| = \sqrt{2}$ et $\text{arg}(z) = \frac{\pi}{4}$ .

Trois points $A, B, C$ sont alignés si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ . Ils forment un angle droit en $A$ si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est imaginaire pur.

Si le quotient est $2i$ , alors $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux.

Tout complexe non nul s'écrit $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \text{arg}(z)$ .

$z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ .

Déterminer la nature du triangle $ABC$ avec $z_A = 1$ , $z_B = i$ , $z_C = 1 + 2i$ .

Étape 1 : Calculer le quotient $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{1 + 2i - 1}{i - 1} = \frac{2i}{-1 + i}$ .

Étape 2 : Simplifier en multipliant par le conjugué : $\frac{2i(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{-2i + 2}{1 + 1} = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ .

Résultat : Comme le quotient n'est ni réel ni imaginaire pur, le triangle n'est ni plat ni rectangle en A.

Pensez à la rotation comme une multiplication par un nombre de module 1, ce qui tourne le vecteur sans changer sa longueur.

L'argument est l'angle, comme la direction d'une aiguille de boussole par rapport à l'axe réel.

Confondre $\text{arg}(z_B - z_A)$ avec l'angle $\widehat{ABC}$ directement.

$\text{arg}(z_B - z_A)$ est l'angle $(u, \vec{AB})$ . Pour l'angle $\widehat{ABC}$ , il faut calculer $\text{arg}(\frac{z_C - z_B}{z_A - z_B})$ .

Oublier la condition $z \neq \omega$ dans les transformations.

Le centre de la transformation est le seul point invariant ( $z = z'$ ).

Formule de la distance AB ?

Condition pour que A, B, C soient alignés ?

Expression d'une rotation de centre $\Omega$ et angle $\theta$ ?

Que vaut l'argument d'un nombre réel positif ?

Quel est le module de $e^{i\theta}$ ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

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Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

Prérequis

Structure du cours

Interprétation géométrique

Transformations géométriques

Notions clés

Module et Argument

Condition d'alignement et d'orthogonalité

Forme exponentielle

Exemple résolu

Astuces & analogies

Rotation

Argument

Erreurs fréquentes

Flashcards

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