Dérivabilité et convexité : étude des fonctions
La dérivabilité permet d'étudier les variations via et la courbure via . Une fonction est convexe si sa courbe est au-dessus de ses tangentes, ce qui correspond à . Inversement, elle est concave si . Un point d'inflexion survient quand s'annule en changeant de signe, marquant le passage de convexe à concave ou inversement. La tangente au point d'abscisse est donnée par . Maîtriser le signe de est crucial pour l'analyse graphique complète.
Le résumé
Comprendre le cours
La dérivabilité permet d'étudier les variations via et la courbure via . Une fonction est convexe si sa courbe est au-dessus de ses tangentes, ce qui correspond à . Inversement, elle est concave si . Un point d'inflexion survient quand s'annule en changeant de signe, marquant le passage de convexe à concave ou inversement. La tangente au point d'abscisse est donnée par . Maîtriser le signe de est crucial pour l'analyse graphique complète.
Avant de commencer
Prérequis
Maîtrise des formules de dérivation usuelles
Étude de signe d'un polynôme de second degré
Notion de limite
Le plan
Structure du cours
- 1
Dérivabilité et étude de fonctions
Nombre dérivé et fonction dérivéeTangente à une courbeDéfinition du nombre dérivé par la limite du taux d'accroissement
Équation de la tangente :
- 2
Convexité et concavité
Définition géométrique et analytiqueLien avec la dérivée secondePoint d'inflexionUne fonction est convexe si sa courbe est au-dessus de ses tangentes
Lien avec le signe de
Point d'inflexion = changement de convexité
À retenir
Notions clés
Convexité
À mémoriserUne fonction est convexe sur si pour tout , la courbe est située au-dessus de sa tangente au point d'abscisse .
La fonction carrée est convexe sur car .
Dérivée seconde
À mémoriserLa dérivée seconde, notée , est la dérivée de la fonction dérivée .
Si , alors et .
Point d'inflexion
À mémoriserPoint où la courbe traverse sa tangente, correspondant à un changement de signe de .
Pour , le point est un point d'inflexion.
En pratique
Exemple résolu
Étudier la convexité de la fonction sur .
- 1
Étape 1 : Calculer .
- 2
Étape 2 : Calculer .
- 3
Étape 3 : Étudier le signe de . sur (convexe) et sur (concave).
- 4
Résultat : La fonction change de signe en et , ce sont donc des points d'inflexion.
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Convexe vs Concave
Convexe = 'C' de 'Coupe' (contient de l'eau). Concave = 'Cave' (creux vers le bas).
Point d'inflexion
C'est comme le volant d'une voiture : quand on passe de tourner à gauche à tourner à droite, il y a un moment neutre où le volant est droit.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Confondre signe de et signe de pour les variations.
donne les variations (croissance/décroissance), donne la courbure (convexité).
Croire que implique toujours un point d'inflexion.
Il faut que change de signe. Exemple : , mais ce n'est pas un point d'inflexion.
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