Dérivabilité et convexité : étude des fonctions

La dérivabilité permet d'étudier les variations via $f'$ et la courbure via $f''$ . Une fonction est convexe si sa courbe est au-dessus de ses tangentes, ce qui correspond à $f''(x) \ge 0$ . Inversement, elle est concave si $f''(x) \le 0$ . Un point d'inflexion survient quand $f''$ s'annule en changeant de signe, marquant le passage de convexe à concave ou inversement. La tangente au point d'abscisse $a$ est donnée par $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ . Maîtriser le signe de $f''$ est crucial pour l'analyse graphique complète.

Maîtrise des formules de dérivation usuelles

Étude de signe d'un polynôme de second degré

Définition du nombre dérivé par la limite du taux d'accroissement

Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$

Une fonction est convexe si sa courbe est au-dessus de ses tangentes

Lien avec le signe de $f''(x)$

Point d'inflexion = changement de convexité

Une fonction $f$ est convexe sur $I$ si pour tout $a \in I$ , la courbe est située au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $a$ .

La fonction carrée $f(x) = x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ car $f''(x) = 2 > 0$ .

La dérivée seconde, notée $f''$ , est la dérivée de la fonction dérivée $f'$ .

Si $f(x) = x^3$ , alors $f'(x) = 3x^2$ et $f''(x) = 6x$ .

Point où la courbe traverse sa tangente, correspondant à un changement de signe de $f''$ .

Pour $f(x) = x^3$ , le point $(0,0)$ est un point d'inflexion.

Étudier la convexité de la fonction $f(x) = x^4 - 6x^2$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 : Calculer $f'(x) = 4x^3 - 12x$ .

Étape 2 : Calculer $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x-1)(x+1)$ .

Étape 3 : Étudier le signe de $f''$ . $f'' > 0$ sur $]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ (convexe) et $f'' < 0$ sur $]-1, 1[$ (concave).

Résultat : La fonction change de signe en $x = -1$ et $x = 1$ , ce sont donc des points d'inflexion.

Convexe = 'C' de 'Coupe' (contient de l'eau). Concave = 'Cave' (creux vers le bas).

C'est comme le volant d'une voiture : quand on passe de tourner à gauche à tourner à droite, il y a un moment neutre où le volant est droit.

Confondre signe de $f'(x)$ et signe de $f''(x)$ pour les variations.

$f'(x)$ donne les variations (croissance/décroissance), $f''(x)$ donne la courbure (convexité).

Croire que $f''(x) = 0$ implique toujours un point d'inflexion.

Il faut que $f''$ change de signe. Exemple : $f(x) = x^4$ , $f''(0) = 0$ mais ce n'est pas un point d'inflexion.

Quelle est l'équation de la tangente à $f$ en $a$ ?

Condition pour qu'une fonction soit convexe ?

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Si $f''(x) < 0$ , la fonction est ?

Lien entre convexité et position de la courbe ?

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Dérivabilité et étude de fonctions

Convexité et concavité

Notions clés

Convexité

Dérivée seconde

Point d'inflexion

Exemple résolu

Astuces & analogies

Convexe vs Concave

Point d'inflexion

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