Mathématiques2nde

Les ensembles de nombres : N, Z, D, Q et R

Les nombres sont classés dans des ensembles emboîtés. On part de $\mathbb{N}$ (entiers naturels) pour aller vers $\mathbb{Z}$ (relatifs), puis $\mathbb{D}$ (décimaux), $\mathbb{Q}$ (rationnels) et enfin $\mathbb{R}$ (réels). Un nombre est rationnel s'il s'écrit $\frac{a}{b}$ . S'il ne peut pas, il est irrationnel, comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ . La hiérarchie suit l'inclusion $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Il est essentiel de simplifier toute expression avant de déterminer son ensemble d'appartenance.

5 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise des opérations élémentaires
Notion de fraction et de signe
Repérage sur une droite graduée

Le plan

Structure du cours

1
La hiérarchie des ensembles de nombres
Définitions et inclusionsNotations usuelles
- Compréhension de la structure en poupées russes
- Utilisation du symbole d'appartenance $\in$ et d'inclusion $\subset$
2
Nombres rationnels et décimaux
Propriétés des fractionsReprésentation décimale
- Tout entier est un décimal
- Distinction entre fractions finies et périodiques
3
Les nombres irrationnels et l'ensemble $$\mathbb{R}$$
Le passage à la continuitéPropriétés de la droite réelle
- L'existence de nombres non rationnels comme $\sqrt{2}$
- La complétude de la droite réelle

À retenir

Notions clés

Ensemble des entiers naturels $$\mathbb{N}$$

À mémoriser

Ensemble des nombres entiers positifs : $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$

Exemple

Le nombre $5$ appartient à $\mathbb{N}$

Ensemble des nombres relatifs $$\mathbb{Z}$$

À mémoriser

Ensemble des entiers, positifs ou négatifs : $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$

Exemple

Le nombre $-3$ appartient à $\mathbb{Z}$

Ensemble des nombres décimaux $$\mathbb{D}$$

À mémoriser

Nombres pouvant s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$

Exemple

Le nombre $0,25 = \frac{25}{100}$ appartient à $\mathbb{D}$

Ensemble des nombres rationnels $$\mathbb{Q}$$

À mémoriser

Quotients de deux entiers : $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* \right\}$

Exemple

Le nombre $\frac{1}{3}$ appartient à $\mathbb{Q}$ mais pas à $\mathbb{D}$

Ensemble des nombres réels $$\mathbb{R}$$

À mémoriser

Ensemble regroupant tous les nombres rationnels et irrationnels (tous les points de la droite graduée)

Exemple

Le nombre $\pi$ ou $\sqrt{2}$ appartiennent à $\mathbb{R}$

En pratique

Exemple résolu

Classifier le nombre $x = \frac{12}{3}$ et $y = \sqrt{2}$ dans les ensembles de nombres.

1
Étape 1 : Simplifier $x$ : $\frac{12}{3} = 4$ . Comme $4$ est un entier naturel, $4 \in \mathbb{N}$ . Par inclusion, $4 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .
2
Étape 2 : Analyser $y = \sqrt{2}$ . Son écriture décimale est infinie et non périodique, donc $y \notin \mathbb{Q}$ .
3
Résultat : $x \in \mathbb{N}$ et $y \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Inclusion des ensembles

Pensez à des poupées russes : $\mathbb{N}$ est dans $\mathbb{Z}$ , qui est dans $\mathbb{D}$ , qui est dans $\mathbb{Q}$ , qui est dans $\mathbb{R}$ .

Distinction $$\mathbb{Q}$$ et $$\mathbb{R}$$

Les rationnels ( $\mathbb{Q}$ ) sont des nombres qu'on peut écrire comme un 'quotient' de deux entiers, tandis que les irrationnels sont les nombres 'réels' qui 'irrationnellement' refusent d'être des fractions.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$

Tout décimal est un rationnel, mais tout rationnel n'est pas décimal. Exemple : $\frac{1}{3} \approx 0,333...$ n'a pas un nombre fini de décimales, donc $\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}$ .

Croire que $\sqrt{4}$ est irrationnel

Il faut toujours simplifier avant de conclure : $\sqrt{4} = 2$ , qui est un entier naturel.

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Flashcards

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Terminale

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Nombres rationnels et décimaux

Les nombres irrationnels et l'ensemble $$\mathbb{R}$$

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Ensemble des entiers naturels $$\mathbb{N}$$

Ensemble des nombres relatifs $$\mathbb{Z}$$

Ensemble des nombres décimaux $$\mathbb{D}$$

Ensemble des nombres rationnels $$\mathbb{Q}$$

Ensemble des nombres réels $$\mathbb{R}$$

Exemple résolu

Astuces & analogies

Inclusion des ensembles

Distinction $$\mathbb{Q}$$ et $$\mathbb{R}$$

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