Ensembles de nombres et intervalles

Les nombres sont organisés par ensembles emboîtés : $\mathbb{N}$ (entiers naturels) inclut les négatifs dans $\mathbb{Z}$ , puis les décimaux $\mathbb{D}$ , les rationnels $\mathbb{Q}$ et enfin les réels $\mathbb{R}$ . Un intervalle $[a; b]$ représente une portion continue de $\mathbb{R}$ . On utilise les crochets pour inclure $[$ ou exclure $]$ les bornes. Maîtriser ces ensembles permet de qualifier précisément tout résultat de calcul.

Connaissance des opérations de base

Maîtrise de la droite graduée

L'inclusion successive des ensembles

Passage de $\mathbb{N}$ à $\mathbb{R}$

Symbole d'appartenance $\in$

Notation des intervalles $[a; b]$

Collections hiérarchisées de nombres : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

$-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 otin \mathbb{N}$

Partie de $\mathbb{R}$ contenant tous les réels entre deux bornes

$x \in [2; 5]$ signifie $2 \leq x \leq 5$

Déterminer si un nombre $x$ appartient à un intervalle

Étape 1 : Identifier l'intervalle $I = [-1; 4[$

Étape 2 : Vérifier si $x$ est compris entre les bornes avec $-1 \leq x < 4$

Résultat : Si $x = 3,5$ , alors $3,5 \in [-1; 4[$ est vrai.

Pensez aux poupées russes : chaque ensemble contient les précédents.

Crochet vers l'extérieur $]$ : le nombre est à la porte mais pas invité.

Confondre $\in$ (appartenance) et $\subset$ (inclusion)

$\in$ s'utilise entre un élément et un ensemble. $\subset$ s'utilise entre deux ensembles.

Croire que $\mathbb{Q}$ contient tous les nombres

Des nombres comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ ne sont pas dans $\mathbb{Q}$ .

Quel est le plus petit ensemble contenant $\sqrt{2}$ ?

Que signifie la notation $x \in [a; b]$ ?

Quelle est la différence entre $[a; b]$ et $]a; b[$ ?

Symbole pour l'ensemble des décimaux ?

Le nombre $rac{1}{3}$ appartient-il à $\mathbb{D}$ ?

Comprendre le cours

Continuer à réviser

Notion de fonction : images, antécédents et représentation

Prérequis

Structure du cours

La hiérarchie des ensembles

Représentation et notations

Notions clés

Ensembles de nombres

Intervalle

Exemple résolu

Astuces & analogies

Inclusion des ensembles

Crochets ouverts/fermés

Erreurs fréquentes

Flashcards

Équations et inéquations : méthodes et tableaux de signes

Vecteurs et géométrie plane : bases et colinéarité