Vecteurs avec repère

Le chapitre porte sur les vecteurs et les droites dans un repère du plan. Le plan seul ne permet pas de calculer, donc on y pose une base. C'est un couple de deux vecteurs non colinéaires $(\vec{i} ; \vec{j})$, dite orthonormée lorsqu'ils sont perpendiculaires et de norme 1. Tout vecteur s'écrit alors de façon unique $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$, et on note $\vec{u}(x ; y)$. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées. En ajoutant une origine $O$, on obtient un repère $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$. Les coordonnées d'un point $M$ sont celles du vecteur $\vec{OM}$ : abscisse $x$ et ordonnée $y$.

Dans un repère, $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A ; y_B - y_A)$. Les opérations se font coordonnée par coordonnée : $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x' ; y + y')$ et $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx ; ky)$. Le milieu de $[AB]$ est $I\left(\frac{x_A+x_B}{2} ; \frac{y_A+y_B}{2}\right)$. En repère orthonormé uniquement, la norme vaut $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$, et la distance vaut $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.

Le déterminant de $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ est le nombre $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. Ainsi, trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0$. De même, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\det(\vec{AB}, \vec{CD}) = 0$.

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui suit sa direction, par exemple $\vec{AB}$ si $A$ et $B$ sont sur la droite. Toute droite admet une équation cartésienne $ax + by + c = 0$, de vecteur directeur $(-b ; a)$. Cette équation n'est pas unique, car on peut la multiplier par un réel non nul. Pour la déterminer, on lit $a$ et $b$ sur le vecteur directeur, puis on trouve $c$ grâce à un point de la droite. On peut aussi écrire que $\det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0$. Toute droite non verticale admet une unique équation réduite $y = mx + p$. Le nombre $m = -\frac{a}{b}$ est le coefficient directeur, et $p = -\frac{c}{b}$ l'ordonnée à l'origine. Une droite verticale a une équation de la forme $x = k$. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, ou si $m = m'$.

Le coefficient directeur se calcule à partir de deux points par $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. La droite monte si $m > 0$, descend si $m < 0$ et est horizontale si $m = 0$. Enfin, l'intersection de deux droites s'obtient en résolvant le système formé par leurs équations, par substitution ou par combinaison linéaire. Une solution unique signifie que les droites sont sécantes. Aucune solution signifie qu'elles sont strictement parallèles. Une infinité de solutions signifie qu'elles sont confondues.