Équations, inéquations et tableaux de signes

En seconde, les équations et inéquations reposent sur la maîtrise du calcul algébrique. Pour une équation, on cherche $x$ en isolant les termes. Si l'expression est un produit, on utilise la propriété du produit nul : $A \times B = 0$ si $A=0$ ou $B=0$ . Pour les inéquations, le point crucial est le changement de sens du signe ( $<$ , $>$ ) lors de la multiplication par un nombre négatif. Les solutions sont exprimées sous forme d'intervalles sur la droite réelle. Le tableau de signes est l'outil indispensable pour résoudre des inéquations de type produit ou quotient en étudiant le signe de chaque facteur affine $ax+b$ .

Maîtrise du calcul littéral (développement, factorisation)

Règles sur les fractions et priorités opératoires

Représentation des nombres sur la droite réelle

Isolation de l'inconnue $x$

Règle du produit nul : $A \times B = 0$ si et seulement si $A=0$ ou $B=0$

Changement de sens lors de la multiplication/division par un nombre négatif

Notation des intervalles

Le signe dépend de la valeur de $a$

Utilisation du tableau pour résoudre des inéquations produits ou quotients

Une équation de la forme $A(x) \times B(x) = 0$ est vérifiée si l'un des facteurs est nul.

$(2x-3)(x+5)=0$ implique $2x-3=0$ ou $x+5=0$ .

Ensemble des nombres réels situés entre deux bornes, noté $[a; b]$ , $]a; b[$ ou variantes.

L'inéquation $x \ge 3$ correspond à l'intervalle $[3; +\infty[$ .

Pour $f(x) = ax+b$ , le signe change à la valeur $x = -\frac{b}{a}$ .

Si $a > 0$ , l'expression est négative avant $-\frac{b}{a}$ et positive après.

Résoudre l'inéquation $(2x-4)(x+3) \le 0$ .

Étape 1 : Identifier les racines. $2x-4=0 \Rightarrow x=2$ et $x+3=0 \Rightarrow x=-3$ .

Étape 2 : Dresser un tableau de signes avec les deux facteurs sur les intervalles $(-\infty, -3)$ , $(-3, 2)$ et $(2, +\infty)$ .

Étape 3 : Appliquer la règle des signes ( $- \times - = +$ , $- \times + = -$ ).

Résultat : L'expression est négative ou nulle sur l'intervalle $[-3; 2]$ .

Imagine une bascule : si tu multiplies par un nombre négatif, la force est si forte qu'elle fait basculer le signe $<$ en $>$ .

Le tableau de signes est comme un carrefour : il te dit si tu es dans une zone de 'positivité' ou de 'négativité' selon la direction prise.

Multiplier ou diviser par un nombre négatif sans changer le sens de l'inégalité.

Dès qu'on multiplie ou divise par un réel $k < 0$ , il est impératif d'inverser le signe : $a < b \Rightarrow ka > kb$ .

Essayer de résoudre $A(x) \times B(x) = 5$ en disant $A(x)=5$ ou $B(x)=5$ .

La règle du produit nul ne fonctionne qu'avec $0$ . Il faut développer, soustraire $5$ et refactoriser.

Quelle est la règle pour résoudre $A(x) \times B(x) = 0$ ?

Que devient le signe $\le$ si on divise par $-2$ ?

Comment note-t-on l'ensemble des réels supérieurs strictement à $5$ ?

Pour $ax+b$ , quelle est la racine ?

Quelles sont les bornes de l'intervalle correspondant à $-2 \le x < 3$ ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

Comprendre le cours

Continuer à réviser

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

Prérequis

Structure du cours

Équations du premier degré

Inéquations du premier degré

Étude de signe

Notions clés

Produit nul

Intervalle

Signe d'une expression affine

Exemple résolu

Astuces & analogies

Changement de signe lors d'une inéquation

Tableau de signes

Erreurs fréquentes

Flashcards

Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)

Géométrie dans l'espace : droites et plans