Mathématiques2nde

Fonctions : variations, extrema et tableau de variation

Le chapitre porte sur l'étude des variations d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ . Une fonction est croissante si elle conserve l'ordre des réels, et décroissante si elle l'inverse. Le tableau de variations permet de visualiser ces changements de sens ainsi que les points d'extremums (maximum et minimum). Ces derniers correspondent aux sommets et fonds de courbes graphiques. L'étude se base sur la comparaison des images $f(x_1)$ et $f(x_2)$ pour $x_1 < x_2$ . La maîtrise du passage entre la forme algébrique et le tableau est essentielle. Comprendre le comportement des fonctions est la base de toute l'analyse mathématique au lycée.

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise de la manipulation des inégalités.
Notion de repère cartésien du plan.
Compréhension du lien entre un antécédent $x$ et son image $$f(x)$$$.

Le plan

Structure du cours

1
Notions de base sur les fonctions
Définition et ensemble de définitionReprésentation graphique
- Une fonction $f$ associe à tout réel $x$ un unique réel $f(x)$ .
- L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ ayant une image par $f$ .
2
Variations d'une fonction
Fonction croissanteFonction décroissante
- Conservation de l'ordre pour la croissance : si $x_1 < x_2$ , alors $f(x_1) \leq f(x_2)$ .
- Inversion de l'ordre pour la décroissance : si $x_1 < x_2$ , alors $f(x_1) \geq f(x_2)$ .
3
Extremums d'une fonction
Maximum globalMinimum global
- Un maximum $M$ est atteint en $a$ si pour tout $x$ , $f(x) \leq f(a) = M$ .
- Un minimum $m$ est atteint en $b$ si pour tout $x$ , $f(x) \geq f(b) = m$ .

À retenir

Notions clés

Croissance d'une fonction

À mémoriser

Une fonction est croissante sur un intervalle $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ , $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)$ .

Exemple

La fonction $f(x) = 2x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

Décroissance d'une fonction

À mémoriser

Une fonction est décroissante sur un intervalle $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ , $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geq f(x_2)$ .

Exemple

La fonction $f(x) = -3x + 1$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Tableau de variations

À mémoriser

Outil schématique résumant les intervalles de croissance/décroissance et les extremums.

Exemple

Utilisation des flèches montantes pour la croissance et descendantes pour la décroissance.

En pratique

Exemple résolu

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur l'intervalle $[0, 4]$ .

1
Étape 1 : Identifier la forme canonique $f(x) = (x-2)^2 - 1$ .
2
Étape 2 : Analyser la variation. Pour $x \in [0, 2]$ , la fonction est décroissante car on s'approche du sommet. Pour $x \in [2, 4]$ , elle est croissante.
3
Résultat : Le minimum est atteint en $x=2$ et vaut $f(2) = -1$ . Le tableau de variations montre une descente de $3$ à $-1$ , puis une montée de $-1$ à $3$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Croissance vs Décroissance

Imaginez un randonneur : s'il monte, la fonction est croissante ( $f(x_1) < f(x_2)$ ), s'il descend, elle est décroissante ( $f(x_1) > f(x_2)$ ).

Extremum

Le maximum est le sommet de la montagne, le minimum est le fond de la vallée.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre l'image $f(x)$ et l'antécédent $x$ dans un tableau de variations.

Dans le tableau, la ligne du haut contient les valeurs de $x$ , la ligne du bas contient les valeurs de $$f(x)$$$.

Croire qu'une fonction qui change de sens est nécessairement monotone.

La monotonie signifie que la fonction garde le même sens de variation sur tout l'intervalle donné.

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

Continuer à réviser

Terminale

Mathématiques

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

Géométrie dans l'espace : droites et plans

La géométrie dans l'espace étend le calcul vectoriel à trois dimensions. On utilise un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ pour défin...

3 notions5 cartes

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Fonctions : variations, extrema et tableau de variation

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Maîtrise de la manipulation des inégalités.
Notion de repère cartésien du plan.
Compréhension du lien entre un antécédent $x$ et son image $$f(x)$$$.

Le plan

Structure du cours

1
Notions de base sur les fonctions
Définition et ensemble de définitionReprésentation graphique
- Une fonction $f$ associe à tout réel $x$ un unique réel $f(x)$ .
- L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ ayant une image par $f$ .
2
Variations d'une fonction
Fonction croissanteFonction décroissante
- Conservation de l'ordre pour la croissance : si $x_1 < x_2$ , alors $f(x_1) \leq f(x_2)$ .
- Inversion de l'ordre pour la décroissance : si $x_1 < x_2$ , alors $f(x_1) \geq f(x_2)$ .
3
Extremums d'une fonction
Maximum globalMinimum global
- Un maximum $M$ est atteint en $a$ si pour tout $x$ , $f(x) \leq f(a) = M$ .
- Un minimum $m$ est atteint en $b$ si pour tout $x$ , $f(x) \geq f(b) = m$ .

À retenir

Notions clés

Croissance d'une fonction

À mémoriser

Une fonction est croissante sur un intervalle $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ , $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)$ .

Exemple

La fonction $f(x) = 2x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

Décroissance d'une fonction

À mémoriser

Une fonction est décroissante sur un intervalle $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ , $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geq f(x_2)$ .

Exemple

La fonction $f(x) = -3x + 1$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Tableau de variations

À mémoriser

Outil schématique résumant les intervalles de croissance/décroissance et les extremums.

Exemple

Utilisation des flèches montantes pour la croissance et descendantes pour la décroissance.

En pratique

Exemple résolu

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur l'intervalle $[0, 4]$ .

1
Étape 1 : Identifier la forme canonique $f(x) = (x-2)^2 - 1$ .
2
Étape 2 : Analyser la variation. Pour $x \in [0, 2]$ , la fonction est décroissante car on s'approche du sommet. Pour $x \in [2, 4]$ , elle est croissante.
3
Résultat : Le minimum est atteint en $x=2$ et vaut $f(2) = -1$ . Le tableau de variations montre une descente de $3$ à $-1$ , puis une montée de $-1$ à $3$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Croissance vs Décroissance

Imaginez un randonneur : s'il monte, la fonction est croissante ( $f(x_1) < f(x_2)$ ), s'il descend, elle est décroissante ( $f(x_1) > f(x_2)$ ).

Extremum

Le maximum est le sommet de la montagne, le minimum est le fond de la vallée.

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Confondre l'image $f(x)$ et l'antécédent $x$ dans un tableau de variations.

Dans le tableau, la ligne du haut contient les valeurs de $x$ , la ligne du bas contient les valeurs de $$f(x)$$$.

Croire qu'une fonction qui change de sens est nécessairement monotone.

La monotonie signifie que la fonction garde le même sens de variation sur tout l'intervalle donné.

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Décroissance d'une fonction

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Croissance vs Décroissance

Extremum

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Variations d'une fonction

Extremums d'une fonction

Notions clés

Croissance d'une fonction

Décroissance d'une fonction

Tableau de variations

Exemple résolu

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Croissance vs Décroissance

Extremum

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