Fonctions : variations, extrema et tableau de variation

Le chapitre porte sur l'étude des variations d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ . Une fonction est croissante si elle conserve l'ordre des réels, et décroissante si elle l'inverse. Le tableau de variations permet de visualiser ces changements de sens ainsi que les points d'extremums (maximum et minimum). Ces derniers correspondent aux sommets et fonds de courbes graphiques. L'étude se base sur la comparaison des images $f(x_1)$ et $f(x_2)$ pour $x_1 < x_2$ . La maîtrise du passage entre la forme algébrique et le tableau est essentielle. Comprendre le comportement des fonctions est la base de toute l'analyse mathématique au lycée.

Maîtrise de la manipulation des inégalités.

Notion de repère cartésien du plan.

Compréhension du lien entre un antécédent $x$ et son image $$f(x)$$$.

Une fonction $f$ associe à tout réel $x$ un unique réel $f(x)$ .

L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ ayant une image par $f$ .

Conservation de l'ordre pour la croissance : si $x_1 < x_2$ , alors $f(x_1) \leq f(x_2)$ .

Inversion de l'ordre pour la décroissance : si $x_1 < x_2$ , alors $f(x_1) \geq f(x_2)$ .

Un maximum $M$ est atteint en $a$ si pour tout $x$ , $f(x) \leq f(a) = M$ .

Un minimum $m$ est atteint en $b$ si pour tout $x$ , $f(x) \geq f(b) = m$ .

Une fonction est croissante sur un intervalle $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ , $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)$ .

La fonction $f(x) = 2x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

Une fonction est décroissante sur un intervalle $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ , $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geq f(x_2)$ .

La fonction $f(x) = -3x + 1$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Outil schématique résumant les intervalles de croissance/décroissance et les extremums.

Utilisation des flèches montantes pour la croissance et descendantes pour la décroissance.

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur l'intervalle $[0, 4]$ .

Étape 1 : Identifier la forme canonique $f(x) = (x-2)^2 - 1$ .

Étape 2 : Analyser la variation. Pour $x \in [0, 2]$ , la fonction est décroissante car on s'approche du sommet. Pour $x \in [2, 4]$ , elle est croissante.

Résultat : Le minimum est atteint en $x=2$ et vaut $f(2) = -1$ . Le tableau de variations montre une descente de $3$ à $-1$ , puis une montée de $-1$ à $3$ .

Imaginez un randonneur : s'il monte, la fonction est croissante ( $f(x_1) < f(x_2)$ ), s'il descend, elle est décroissante ( $f(x_1) > f(x_2)$ ).

Le maximum est le sommet de la montagne, le minimum est le fond de la vallée.

Confondre l'image $f(x)$ et l'antécédent $x$ dans un tableau de variations.

Dans le tableau, la ligne du haut contient les valeurs de $x$ , la ligne du bas contient les valeurs de $$f(x)$$$.

Croire qu'une fonction qui change de sens est nécessairement monotone.

La monotonie signifie que la fonction garde le même sens de variation sur tout l'intervalle donné.

Définition d'une fonction croissante sur $I$

Définition d'une fonction décroissante sur $I$

Qu'est-ce qu'un maximum global sur $I$ ?

Que signifie $f(x_1) \leq f(x_2)$ pour $x_1 < x_2$ ?

Que signifie $f(x_1) \geq f(x_2)$ pour $x_1 < x_2$ ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

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Prérequis

Structure du cours

Notions de base sur les fonctions

Variations d'une fonction

Extremums d'une fonction

Notions clés

Croissance d'une fonction

Décroissance d'une fonction

Tableau de variations

Exemple résolu

Astuces & analogies

Croissance vs Décroissance

Extremum

Erreurs fréquentes

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