Géométrie dans l'espace : sphère et boule

La sphère est une surface dont tous les points sont à une distance $r$ d'un centre $O$ . La boule est le solide correspondant. L'aire se calcule par $4\pi r^2$ et le volume par $\frac{4}{3}\pi r^3$ . Toute section d'une sphère par un plan produit un cercle. Si ce plan passe par le centre, on obtient un grand cercle, qui possède le même rayon $r$ que la sphère. Il est crucial de bien distinguer le diamètre ( $d = 2r$ ) du rayon lors des calculs.

Maîtrise du calcul avec le nombre $\pi$ .

Connaissance des propriétés du cercle en 2D.

Notions de base sur les racines carrées et les puissances.

La sphère est l'ensemble des points situés à une distance $r$ d'un point fixe $O$ .

Le centre $O$ n'appartient pas à la sphère, mais à la boule.

Formule de l'aire : $A = 4 imes \pi imes r^2$

Formule du volume : $V = \frac{4}{3} imes \pi imes r^3$

La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle.

Si le plan passe par le centre, on obtient un grand cercle de rayon $r$ .

Ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ d'un point $O$ . C'est une surface vide.

La surface d'une orange.

Ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $r$ du centre $O$ . C'est un solide plein.

Une balle de tennis pleine.

Cercle obtenu par la section d'une sphère par un plan passant par son centre. Il a le même rayon $r$ que la sphère.

L'équateur terrestre.

Calculer l'aire et le volume d'une sphère de rayon $r = 3 \text{ cm}$ .

Étape 1 : Calcul de l'aire $A = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi \approx 113,1 \text{ cm}^2$ .

Étape 2 : Calcul du volume $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi \approx 113,1 \text{ cm}^3$ .

Résultat : L'aire est de $36\pi \text{ cm}^2$ et le volume est de $36\pi \text{ cm}^3$ .

Le volume est en 3 dimensions, donc le rayon est à la puissance $3$ ( $r^3$ ). L'aire est en 2 dimensions, donc le rayon est à la puissance $2$ ( $r^2$ ).

Sphère = Surface (S comme Surface). Boule = Volume (tout ce qu'il y a dedans).

Confondre le diamètre et le rayon dans les formules.

Il faut toujours diviser le diamètre par $2$ pour obtenir $r$ avant d'utiliser les formules.

Oublier l'unité au cube pour le volume.

Le volume s'exprime toujours en unités de longueur au cube ( $\text{cm}^3$ , $\text{m}^3$ ) alors que l'aire est en unités au carré ( $\text{cm}^2$ ).

Quelle est la formule de l'aire d'une sphère de rayon $r$ ?

Quelle est la formule du volume d'une boule de rayon $r$ ?

Quelle est la nature de la section d'une sphère par un plan ?

Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?

Que représente un 'grand cercle' ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

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Prérequis

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Définition et propriétés de la sphère

Calculs sur la sphère

Sections planes d'une sphère

Notions clés

Sphère

Boule

Grand cercle

Exemple résolu

Astuces & analogies

Volume de la boule ($$r^3$$) vs Aire de la sphère ($$r^2$$)

La différence sphère/boule

Erreurs fréquentes

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