Volumes des pyramides et cônes de révolution

Le chapitre porte sur les solides pointus : pyramides et cônes. Pour calculer leur volume, on utilise toujours la formule $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{base} \times h$ . La base de la pyramide est un polygone, tandis que celle du cône est un disque. Il est crucial de ne pas oublier le coefficient $\frac{1}{3}$ , qui les différencie des prismes et cylindres. La hauteur $h$ doit impérativement être perpendiculaire à la base. Rappelez-vous : une pyramide occupe exactement un tiers de l'espace d'un prisme ayant la même base et la même hauteur.

Connaître l'aire d'un triangle, d'un rectangle et d'un disque ( $\pi \times r^2$ ).

Savoir manipuler les unités de volume ( $\text{cm}^3$ , $\text{m}^3$ ).

Comprendre la notion de hauteur dans une figure géométrique.

Une pyramide possède une base polygonale et des faces latérales triangulaires se rejoignant en un sommet.

Le volume est calculé par la formule $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{base} \times h$ .

Un cône est engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit.

Le volume respecte la même structure que celui de la pyramide avec une base circulaire.

Le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur.

Si l'aire de la base est $12 \text{ cm}^2$ et la hauteur $5 \text{ cm}$ , alors $V = \frac{1}{3} \times 12 \times 5 = 20 \text{ cm}^3$ .

Le tiers du produit de l'aire du disque de base par la hauteur.

Avec un rayon de base $r=3 \text{ cm}$ et une hauteur $h=4 \text{ cm}$ , $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi \text{ cm}^3$ .

Le segment perpendiculaire issu du sommet et rejoignant le plan de la base.

La ligne droite qui part du sommet du cône et arrive au centre du disque de base.

Calculer le volume d'une pyramide à base carrée de côté $c = 4 \text{ cm}$ et de hauteur $h = 9 \text{ cm}$ .

Étape 1 : Calculer l'aire de la base carrée : $\mathcal{A} = c^2 = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$ .

Étape 2 : Appliquer la formule du volume : $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A} \times h$ .

Étape 3 : Calculer le résultat final : $V = \frac{1}{3} \times 16 \times 9 = 16 \times 3 = 48 \text{ cm}^3$ .

Pensez que la pyramide est comme un prisme à qui il manque les deux tiers de son volume : elle est plus 'pointue' et donc plus légère.

Imaginez un drapeau triangulaire attaché à un mât qui tourne très vite : le balayage du triangle forme le cône.

Oublier de multiplier par $1/3$ .

Il faut se rappeler que pour tout objet 'pointu' (pyramide, cône), on divise par $3$ contrairement aux prismes ou cylindres.

Confondre la hauteur avec l'arête latérale.

La hauteur doit toujours être perpendiculaire à la base ( $90^\circ$ ). L'arête est inclinée.

Quelle est la formule du volume d'une pyramide ?

Quelle est la formule du volume d'un cône de révolution ?

Que signifie le terme 'révolution' pour un cône ?

Si l'aire de base est $B$ et la hauteur $h$ , quel est le volume du prisme associé ?

Quelle est l'unité de mesure du volume ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

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Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

Prérequis

Structure du cours

La Pyramide

Le Cône de révolution

Notions clés

Volume d'une pyramide

Volume d'un cône de révolution

Hauteur

Exemple résolu

Astuces & analogies

Le facteur $$1/3$$ dans les formules

Cône de révolution

Erreurs fréquentes

Flashcards

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