La symétrie centrale : définitions et propriétés
La symétrie centrale de centre transforme tout point en un point tel que soit le milieu du segment . C'est une transformation qui réalise un demi-tour autour de . Elle possède la propriété fondamentale de conserver les distances et les angles, on dit que c'est une isométrie. Les figures géométriques comme le parallélogramme ou le cercle possèdent un centre de symétrie. Pour construire le symétrique d'une figure, on construit point par point le symétrique de chaque sommet. Il ne faut pas confondre avec la symétrie axiale, car ici il n'y a pas d'axe, mais un pivot central. Le résultat est une figure 'renversée' par rapport au centre .
Le résumé
Comprendre le cours
La symétrie centrale de centre transforme tout point en un point tel que soit le milieu du segment . C'est une transformation qui réalise un demi-tour autour de . Elle possède la propriété fondamentale de conserver les distances et les angles, on dit que c'est une isométrie. Les figures géométriques comme le parallélogramme ou le cercle possèdent un centre de symétrie. Pour construire le symétrique d'une figure, on construit point par point le symétrique de chaque sommet. Il ne faut pas confondre avec la symétrie axiale, car ici il n'y a pas d'axe, mais un pivot central. Le résultat est une figure 'renversée' par rapport au centre .
Avant de commencer
Prérequis
Maîtriser le tracé à la règle et à l'équerre
Comprendre la notion de milieu d'un segment
Savoir mesurer des angles avec un rapporteur
Le plan
Structure du cours
- 1
Définition et propriétés
Le centre de symétriePropriétés de conservationLe point est le milieu du segment joignant un point à son image.
La symétrie centrale conserve les longueurs, les aires et les angles.
- 2
Construction géométrique
Symétrique d'un pointSymétrique d'une figureUtilisation de la règle et du compas.
Construction par prolongement du segment.
- 3
Figures possédant un centre de symétrie
Le parallélogrammeLe cercleLe centre d'un parallélogramme est son centre de symétrie.
Le centre d'un cercle est son centre de symétrie.
À retenir
Notions clés
Symétrie centrale
À mémoriserTransformation géométrique qui fait pivoter une figure de autour d'un point appelé centre de symétrie.
Le point est le symétrique de par rapport à si est le milieu de .
Conservation des propriétés
À mémoriserLa symétrie centrale est une isométrie : elle ne change ni les distances, ni les mesures d'angles.
Si cm, alors le segment image mesure également cm.
Centre de symétrie d'une figure
À mémoriserUn point est centre de symétrie d'une figure si la figure est sa propre image par la symétrie de centre .
Le rectangle possède un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
En pratique
Exemple résolu
Construire le symétrique d'un triangle par rapport à un point .
- 1
Étape 1 : Tracer la demi-droite d'origine passant par .
- 2
Étape 2 : Reporter la longueur de l'autre côté de pour placer .
- 3
Étape 3 : Répéter l'opération pour les points et afin d'obtenir et .
- 4
Résultat : Relier les points pour former le triangle image de .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Symétrie centrale
C'est l'effet 'demi-tour' : imaginez que vous faites faire une rotation de autour d'un pivot fixe .
Le point O comme milieu
Le point est le 'point de rendez-vous' situé exactement à mi-chemin entre chaque point de départ et son point d'arrivée.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Confondre la symétrie axiale (miroir) et la symétrie centrale (pivot).
Dans la symétrie axiale, la figure se retourne comme un reflet. Dans la symétrie centrale, la figure 'tourne' autour du point .
Oublier que doit être le milieu.
Il faut impérativement que avec les points alignés.
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