Les fonctions linéaires : définition et représentation

Une fonction linéaire exprime une relation de proportionnalité sous la forme $f(x) = ax$ . Dans cette écriture, $x$ est la variable et $a$ est le coefficient directeur. Graphiquement, elle est représentée par une droite passant impérativement par l'origine $(0,0)$ . Pour trouver l'image d'un nombre, on multiplie ce nombre par $a$ . Inversement, pour trouver l'antécédent, on divise l'image par $a$ . C'est un outil essentiel pour modéliser des situations comme des prix unitaires ou des conversions de grandeurs.

Maîtrise de la notion de proportionnalité (quatrième proportionnelle).

Compréhension des coordonnées d'un point dans un repère $(O, I, J)$ .

Calculs de base sur les nombres relatifs.

Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.

La forme générale est $f(x) = a \times x$ où $a$ est le coefficient de proportionnalité.

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

Le coefficient $a$ correspond au coefficient directeur de la droite.

Une fonction $f$ qui associe à tout nombre $x$ le produit de $x$ par un nombre constant $a$ .

Le nombre $a$ dans l'expression $f(x) = ax$ . Il indique le rapport constant entre l'image et l'antécédent.

Si $f(2) = 6$ , alors $a = \frac{6}{2} = 3$ .

Si $f(x) = y$ , alors $y$ est l'image de $x$ et $x$ est l'antécédent de $y$ .

Pour $f(x) = 5x$ , si $x = 4$ , l'image est $20$ .

Un abonnement de cinéma coûte $8 \text{ \euro}$ par place. On veut exprimer le prix payé $P$ en fonction du nombre de places $x$ .

Étape 1 : Identifier la relation de proportionnalité, ici le prix est $8 \times x$ .

Étape 2 : Définir la fonction : $f(x) = 8x$ .

Résultat : Pour $5$ places, $f(5) = 8 \times 5 = 40$ . Le prix est de $40 \text{ \euro}$ .

Pensez au 'A' de $ax$ comme le 'A' de 'Aligné' : la courbe est une ligne droite alignée avec l'origine.

L'image est le résultat de la transformation (ce qui sort de la machine). L'antécédent est ce que l'on met dedans (l'entrée).

Croire qu'une droite qui ne passe pas par l'origine représente une fonction linéaire.

Une fonction linéaire doit obligatoirement passer par l'origine $(0,0)$ . Si elle ne passe pas par l'origine, c'est une fonction affine.

Confondre $x$ et $a$ .

$x$ est la variable (ce qui change), alors que $a$ est le coefficient fixe (le taux).

Quelle est la forme algébrique d'une fonction linéaire ?

À quoi ressemble la représentation graphique d'une fonction linéaire ?

Comment calculer le coefficient $a$ si on connaît un point $(x, y)$ ?

Qu'est-ce qu'une image dans $f(x) = y$ ?

Si $f(x) = -2x$ , quel est le coefficient ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

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Définition d'une fonction linéaire

Représentation graphique

Notions clés

Fonction linéaire

Coefficient de proportionnalité

Antécédent et Image

Exemple résolu

Astuces & analogies

Forme $$f(x) = ax$$

Image vs Antécédent

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