Les fonctions linéaires : définition et représentation
Une fonction linéaire exprime une relation de proportionnalité sous la forme . Dans cette écriture, est la variable et est le coefficient directeur. Graphiquement, elle est représentée par une droite passant impérativement par l'origine . Pour trouver l'image d'un nombre, on multiplie ce nombre par . Inversement, pour trouver l'antécédent, on divise l'image par . C'est un outil essentiel pour modéliser des situations comme des prix unitaires ou des conversions de grandeurs.
Le résumé
Comprendre le cours
Une fonction linéaire exprime une relation de proportionnalité sous la forme . Dans cette écriture, est la variable et est le coefficient directeur. Graphiquement, elle est représentée par une droite passant impérativement par l'origine . Pour trouver l'image d'un nombre, on multiplie ce nombre par . Inversement, pour trouver l'antécédent, on divise l'image par . C'est un outil essentiel pour modéliser des situations comme des prix unitaires ou des conversions de grandeurs.
Avant de commencer
Prérequis
Maîtrise de la notion de proportionnalité (quatrième proportionnelle).
Compréhension des coordonnées d'un point dans un repère .
Calculs de base sur les nombres relatifs.
Le plan
Structure du cours
- 1
Définition d'une fonction linéaire
Notion de dépendanceForme algébriqueUne fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.
La forme générale est où est le coefficient de proportionnalité.
- 2
Représentation graphique
Nature de la courbePassage par l'origineLa représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
Le coefficient correspond au coefficient directeur de la droite.
À retenir
Notions clés
Fonction linéaire
À mémoriserUne fonction qui associe à tout nombre le produit de par un nombre constant .
Coefficient de proportionnalité
À mémoriserLe nombre dans l'expression . Il indique le rapport constant entre l'image et l'antécédent.
Si , alors .
Antécédent et Image
À mémoriserSi , alors est l'image de et est l'antécédent de .
Pour , si , l'image est .
En pratique
Exemple résolu
Un abonnement de cinéma coûte par place. On veut exprimer le prix payé en fonction du nombre de places .
- 1
Étape 1 : Identifier la relation de proportionnalité, ici le prix est .
- 2
Étape 2 : Définir la fonction : .
- 3
Résultat : Pour places, . Le prix est de .
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Forme $$f(x) = ax$$
Pensez au 'A' de comme le 'A' de 'Aligné' : la courbe est une ligne droite alignée avec l'origine.
Image vs Antécédent
L'image est le résultat de la transformation (ce qui sort de la machine). L'antécédent est ce que l'on met dedans (l'entrée).
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Croire qu'une droite qui ne passe pas par l'origine représente une fonction linéaire.
Une fonction linéaire doit obligatoirement passer par l'origine . Si elle ne passe pas par l'origine, c'est une fonction affine.
Confondre et .
est la variable (ce qui change), alors que est le coefficient fixe (le taux).
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