Définition et propriétés des racines carrées
La racine carrée d'un nombre positif , notée , est le nombre dont le carré est . On a . Les propriétés essentielles sont et . Attention, la racine d'une somme n'est pas la somme des racines (). Pour simplifier une expression, on décompose le nombre sous la racine pour faire apparaître des carrés parfaits comme . Enfin, on ne peut calculer la racine carrée que d'un nombre positif.
Le résumé
Comprendre le cours
La racine carrée d'un nombre positif , notée , est le nombre dont le carré est . On a . Les propriétés essentielles sont et . Attention, la racine d'une somme n'est pas la somme des racines (). Pour simplifier une expression, on décompose le nombre sous la racine pour faire apparaître des carrés parfaits comme . Enfin, on ne peut calculer la racine carrée que d'un nombre positif.
Avant de commencer
Prérequis
Maîtriser les puissances et les carrés parfaits (ex: ).
Connaître les priorités opératoires et le développement simple.
Le plan
Structure du cours
- 1
Définition et propriétés de base
La notion de racine carréeLien avec le carréLa racine carrée d'un nombre positif est le nombre positif dont le carré est .
On note cette opération .
- 2
Opérations sur les racines carrées
Produit et racine carréeQuotient et racine carréePour tous nombres positifs et ,
Pour ,
- 3
Simplification et calcul
Simplification d'une expressionExtraction de facteursMise sous la forme
Addition et soustraction (attention : )
À retenir
Notions clés
Racine carrée
À mémoriserPour tout nombre positif , est le nombre positif tel que .
car .
Identité fondamentale
À mémoriserPour tout nombre réel , . En 3ème, pour , on retient .
.
Produit des racines
À mémoriserLa racine carrée d'un produit est le produit des racines carrées.
.
En pratique
Exemple résolu
Simplifier l'expression .
- 1
Étape 1 : Décomposer le nombre sous la racine en un produit contenant un carré parfait :
- 2
Étape 2 : Utiliser la propriété du produit :
- 3
Étape 3 : Additionner les termes semblables :
- 4
Résultat :
Mémoriser plus vite
Astuces & analogies
Somme des racines
Penser aux racines comme à des unités différentes : est comme . On ne peut pas les fusionner !
Définition $$\sqrt{a^2}$$
La racine et le carré sont des ennemis jurés (fonctions réciproques). Ils s'annulent quand ils se rencontrent, comme un + et un -.
Ne plus se tromper
Erreurs fréquentes
Calculer comme
C'est une erreur grave. Exemple : , alors que . Donc .
Penser qu'une racine carrée peut être négative
Par définition, le symbole désigne toujours la racine positive. L'équation a deux solutions ( et ), mais ne vaut que .
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