Limites de fonctions : définitions et formes indéterminées

Le chapitre porte sur l'étude du comportement des fonctions $f(x)$ aux bornes de leur domaine. On distingue les limites finies, synonymes d'asymptotes horizontales, des limites infinies, associées aux asymptotes verticales. La manipulation nécessite de lever des formes indéterminées ( $\\frac{0}{0}$ , $\\\infty - \\\infty$ , etc.) par factorisation ou quantité conjuguée. Les croissances comparées permettent de hiérarchiser la puissance des fonctions ( $\exp > \text{polynomes} > \ln$ ). Enfin, le théorème des gendarmes est l'outil majeur pour encadrer des limites complexes.

Maîtrise des fonctions de référence (polynômes, inverses, racines, exponentielles, logarithmes)

Notion d'intervalle et de voisinage

Calcul algébrique (factorisation, développement)

Comportement d'une fonction $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ ou $+\infty$

Interprétation graphique avec les asymptotes

Règles usuelles de calcul

Méthodes de levée d'indétermination par factorisation ou expression conjuguée

Encadrement pour encadrer une limite

Composition de limites

Droite dont la courbe représentative se rapproche indéfiniment sans forcément la toucher.

Si $\lim_{x o +\infty} f(x) = L$ , la droite d'équation $y=L$ est asymptote horizontale.

Situation où les règles usuelles ne permettent pas de conclure directement (ex: $\infty - \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $0 \times \infty$ ).

La limite de $\frac{x^2}{x}$ en $0$ est une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$ .

Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et que $\lim g = \lim h = L$ , alors $\lim f = L$ .

Utilisé pour la fonction $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ au voisinage de $0$ .

Étude de la limite de $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en $x = 1$ .

Étape 1 : Remplacer $x$ par $1$ : on obtient $\frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$ , c'est une forme indéterminée.

Étape 2 : Factoriser le numérateur par l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ .

Étape 3 : Simplifier par $(x-1)$ : $f(x) = x+1$ pour $x \neq 1$ .

Résultat : $\lim_{x o 1} (x+1) = 2$ .

Pensez à un combat de géants : $\infty - \infty$ ne signifie pas $0$ , c'est comme demander qui est le plus fort entre deux infinis, il faut regarder le 'poids' des termes (degré dominant).

Si deux policiers (les fonctions encadrantes) escortent un suspect (la fonction $f$ ) vers une cellule (la limite $L$ ), le suspect n'a pas d'autre choix que d'aller dans la cellule.

Croire que $+\infty - \infty = 0$ .

Il s'agit d'une forme indéterminée. Il faut factoriser par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination.

Oublier les conditions de signe lors de limites avec des racines.

Toujours vérifier le domaine de définition avant de conclure sur une limite.

Quelle est la limite de $e^x$ en $-\infty$ ?

Quelle est la limite de $\ln(x)$ en $0^+$ ?

Si $\lim_{x o a} f(x) = +\infty$ , que peut-on dire sur la courbe ?

Comment lever une indétermination $\frac{\infty}{\infty}$ pour un polynôme ?

Théorème : $\lim_{x o +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n}$ (avec $n>0$ ) ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

Comprendre le cours

Continuer à réviser

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

Prérequis

Structure du cours

Notions de limites en un point et à l'infini

Opérations sur les limites

Théorèmes de comparaison et limites des fonctions composées

Notions clés

Asymptote

Forme indéterminée

Théorème des gendarmes

Exemple résolu

Astuces & analogies

Formes indéterminées

Théorème des gendarmes

Erreurs fréquentes

Flashcards

Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)

Géométrie dans l'espace : droites et plans