MathématiquesTerminale

Primitives et équations différentielles : cours complet

Le chapitre porte sur la recherche de fonctions dont on connaît la dérivée, appelées primitives. Si $F'=f$ , alors $F$ est une primitive de $f$ , définies à une constante $C$ près. Nous étudions aussi les équations différentielles linéaires $y'=ay+b$ . Leur résolution repose sur la formule $f(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ . La constante $C$ est fixée par une condition initiale $y(x_0)=y_0$ . Ces outils sont fondamentaux pour modéliser des phénomènes d'évolution continue.

3 notions clés5 flashcardsMis à jour le 11 août 2026

Le résumé

Comprendre le cours

Avant de commencer

Prérequis

Dérivation des fonctions usuelles : $x^n$ , $e^x$ , $\ln(x)$
Opérations sur les dérivées : $(uv)' = u'v + uv'$ et $(u \circ v)' = v' \times (u' \circ v)$
Résolution d'équations algébriques simples

Le plan

Structure du cours

1
Primitives d'une fonction
Définition et existencePrimitives usuelles
- Une primitive $F$ est telle que $F'=f$
- Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F+C$ avec $C \in \mathbb{R}$
2
Équations différentielles
Équations du type $$y'=ay+b$$Résolution et conditions initiales
- Solutions générales de $y'=ay+b$
- Détermination de la solution unique via une condition initiale $y(x_0)=y_0$

À retenir

Notions clés

Primitive

À mémoriser

Une fonction $F$ dérivable sur un intervalle $I$ telle que pour tout $x \in I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Exemple

Si $f(x) = 2x$ , alors $F(x) = x^2 + C$ est une primitive.

Équation différentielle linéaire du premier ordre

À mémoriser

Une équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$ .

Exemple

L'équation $y' = 3y + 2$ .

Solution générale

À mémoriser

L'ensemble des fonctions $f(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ qui satisfont l'équation $y' = ay + b$ .

Exemple

Pour $y' = 2y$ , la solution est $f(x) = Ce^{2x}$ .

En pratique

Exemple résolu

Résoudre $y' = 3y + 6$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ .

1
Étape 1 : Identifier $a=3$ et $b=6$ . La forme générale est $f(x) = Ce^{3x} - \frac{6}{3} = Ce^{3x} - 2$ .
2
Étape 2 : Utiliser la condition $y(0)=1$ : $Ce^{3 \times 0} - 2 = 1 \implies C - 2 = 1 \implies C = 3$ .
3
Résultat : La solution particulière est $f(x) = 3e^{3x} - 2$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Formule des solutions $$y'=ay+b$$

Pensez au 'point d'équilibre' : $y' = a(y - y_e)$ . Le point d'équilibre est $y_e = -b/a$ .

Primitive vs Dérivée

La dérivation est une opération de 'descente' (réduction de puissance), la primitive est une 'remontée' (accroissement de puissance).

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors du calcul d'une primitive.

Toute primitive est définie à une constante additive près. Sans $+C$ , la réponse est incomplète.

Erreur de signe dans la solution de $y'=ay+b$ .

La solution particulière est $y_p = -b/a$ . Vérifiez en dérivant $y_p$ : on doit trouver $0 = a(-b/a) + b = -b + b = 0$ .

Se tester

Flashcards

Cliquez sur une carte pour révéler la réponse.

Continuer à réviser

Terminale

Mathématiques

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

La somme de variables aléatoires est régie par deux principes majeurs. D'une part, l'espérance est toujours linéaire : $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ , peu i...

Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

Géométrie dans l'espace : droites et plans

La géométrie dans l'espace étend le calcul vectoriel à trois dimensions. On utilise un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ pour défin...

3 notions5 cartes

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Primitives et équations différentielles : cours complet

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Opérations sur les dérivées : $(uv)' = u'v + uv'$ et $(u \circ v)' = v' \times (u' \circ v)$
Résolution d'équations algébriques simples

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Structure du cours

1
Primitives d'une fonction
Définition et existencePrimitives usuelles
- Une primitive $F$ est telle que $F'=f$
- Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F+C$ avec $C \in \mathbb{R}$
2
Équations différentielles
Équations du type $$y'=ay+b$$Résolution et conditions initiales
- Solutions générales de $y'=ay+b$
- Détermination de la solution unique via une condition initiale $y(x_0)=y_0$

À retenir

Notions clés

Primitive

À mémoriser

Une fonction $F$ dérivable sur un intervalle $I$ telle que pour tout $x \in I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Exemple

Si $f(x) = 2x$ , alors $F(x) = x^2 + C$ est une primitive.

Équation différentielle linéaire du premier ordre

À mémoriser

Une équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$ .

Exemple

L'équation $y' = 3y + 2$ .

Solution générale

À mémoriser

L'ensemble des fonctions $f(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ qui satisfont l'équation $y' = ay + b$ .

Exemple

Pour $y' = 2y$ , la solution est $f(x) = Ce^{2x}$ .

En pratique

Exemple résolu

Résoudre $y' = 3y + 6$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ .

1
Étape 1 : Identifier $a=3$ et $b=6$ . La forme générale est $f(x) = Ce^{3x} - \frac{6}{3} = Ce^{3x} - 2$ .
2
Étape 2 : Utiliser la condition $y(0)=1$ : $Ce^{3 \times 0} - 2 = 1 \implies C - 2 = 1 \implies C = 3$ .
3
Résultat : La solution particulière est $f(x) = 3e^{3x} - 2$ .

Mémoriser plus vite

Astuces & analogies

Formule des solutions $$y'=ay+b$$

Pensez au 'point d'équilibre' : $y' = a(y - y_e)$ . Le point d'équilibre est $y_e = -b/a$ .

Primitive vs Dérivée

La dérivation est une opération de 'descente' (réduction de puissance), la primitive est une 'remontée' (accroissement de puissance).

Ne plus se tromper

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors du calcul d'une primitive.

Toute primitive est définie à une constante additive près. Sans $+C$ , la réponse est incomplète.

Erreur de signe dans la solution de $y'=ay+b$ .

La solution particulière est $y_p = -b/a$ . Vérifiez en dérivant $y_p$ : on doit trouver $0 = a(-b/a) + b = -b + b = 0$ .

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