Primitives et équations différentielles : cours complet

Le chapitre porte sur la recherche de fonctions dont on connaît la dérivée, appelées primitives. Si $F'=f$ , alors $F$ est une primitive de $f$ , définies à une constante $C$ près. Nous étudions aussi les équations différentielles linéaires $y'=ay+b$ . Leur résolution repose sur la formule $f(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ . La constante $C$ est fixée par une condition initiale $y(x_0)=y_0$ . Ces outils sont fondamentaux pour modéliser des phénomènes d'évolution continue.

Dérivation des fonctions usuelles : $x^n$ , $e^x$ , $\ln(x)$

Opérations sur les dérivées : $(uv)' = u'v + uv'$ et $(u \circ v)' = v' \times (u' \circ v)$

Résolution d'équations algébriques simples

Une primitive $F$ est telle que $F'=f$

Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F+C$ avec $C \in \mathbb{R}$

Solutions générales de $y'=ay+b$

Détermination de la solution unique via une condition initiale $y(x_0)=y_0$

Une fonction $F$ dérivable sur un intervalle $I$ telle que pour tout $x \in I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Si $f(x) = 2x$ , alors $F(x) = x^2 + C$ est une primitive.

Une équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$ .

L'équation $y' = 3y + 2$ .

L'ensemble des fonctions $f(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ qui satisfont l'équation $y' = ay + b$ .

Pour $y' = 2y$ , la solution est $f(x) = Ce^{2x}$ .

Résoudre $y' = 3y + 6$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ .

Étape 1 : Identifier $a=3$ et $b=6$ . La forme générale est $f(x) = Ce^{3x} - \frac{6}{3} = Ce^{3x} - 2$ .

Étape 2 : Utiliser la condition $y(0)=1$ : $Ce^{3 \times 0} - 2 = 1 \implies C - 2 = 1 \implies C = 3$ .

Résultat : La solution particulière est $f(x) = 3e^{3x} - 2$ .

Pensez au 'point d'équilibre' : $y' = a(y - y_e)$ . Le point d'équilibre est $y_e = -b/a$ .

La dérivation est une opération de 'descente' (réduction de puissance), la primitive est une 'remontée' (accroissement de puissance).

Oublier la constante $C$ lors du calcul d'une primitive.

Toute primitive est définie à une constante additive près. Sans $+C$ , la réponse est incomplète.

Erreur de signe dans la solution de $y'=ay+b$ .

La solution particulière est $y_p = -b/a$ . Vérifiez en dérivant $y_p$ : on doit trouver $0 = a(-b/a) + b = -b + b = 0$ .

Quelle est la primitive de $x^n$ pour $n \neq -1$ ?

Quelle est la primitive de $e^{ax+b}$ ?

Forme des solutions de $y'=ay+b$

Que signifie $F'(x) = f(x)$ ?

Comment déterminer la constante $C$ ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

Comprendre le cours

Continuer à réviser

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

Prérequis

Structure du cours

Primitives d'une fonction

Équations différentielles

Notions clés

Primitive

Équation différentielle linéaire du premier ordre

Solution générale

Exemple résolu

Astuces & analogies

Formule des solutions $$y'=ay+b$$

Primitive vs Dérivée

Erreurs fréquentes

Flashcards

Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)

Géométrie dans l'espace : droites et plans