Bases des probabilités : univers et événements

Les probabilités mesurent la chance qu'un événement se produise, avec des valeurs comprises entre $0$ et $1$ . L'univers $\Omega$ regroupe toutes les issues possibles, dont la somme des probabilités vaut $1$ . L'événement contraire $\bar{A}$ se calcule via $1 - P(A)$ . Pour la réunion de deux événements $A$ et $B$ , on utilise la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cap B) = 0$ . Ces outils permettent de modéliser mathématiquement le hasard dans des situations variées.

Calcul de fréquences

Opérations de base sur les nombres décimaux et fractions

Définition de l'univers $\Omega$

Loi de probabilité sur un univers fini

La somme des probabilités des issues est égale à $1$

Calcul de $P(A \cup B)$

Probabilité de l'événement contraire $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

Pour un dé à $6$ faces, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Événement qui se réalise si et seulement si $A$ ne se réalise pas.

Si $A$ est 'obtenir un $6$ ', alors $\bar{A}$ est 'obtenir un nombre différent de $6$ '.

La réunion $A \cup B$ contient les issues appartenant à $A$ OU à $B$ . L'intersection $A \cap B$ contient les issues appartenant à $A$ ET à $B$ .

Soit $A$ : nombre pair, $B$ : nombre $> 3$ . $A \cap B = \{4, 6\}$ .

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Soit $A$ l'événement 'obtenir un nombre pair' et $B$ l'événement 'obtenir un nombre supérieur ou égal à $5$ '.

Étape 1 : Identifier les issues favorables. $A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{5, 6\}$ .

Étape 2 : Calculer les probabilités. $P(A) = \frac{3}{6} = 0,5$ et $P(B) = \frac{2}{6} \approx 0,33$ .

Étape 3 : Calculer $P(A \cup B)$ . On utilise la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Ici $A \cap B = \{6\}$ , donc $P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Résultat : La probabilité d'obtenir un nombre pair ou supérieur à $5$ est $\frac{2}{3}$ .

Le symbole $\cup$ ressemble à un 'U' pour 'Union' (plus grand, contient tout), le symbole $\cap$ est la partie commune (plus restreint).

C'est comme une part de gâteau : si tu as mangé $P(A)$ , il reste $1 - P(A)$ pour les autres.

Oublier de soustraire $P(A \cap B)$ lors du calcul de $P(A \cup B)$

Il faut soustraire l'intersection car les éléments communs ont été comptés deux fois : une fois dans $P(A)$ et une fois dans $$P(B)$$$$.

Penser qu'une probabilité peut être supérieure à $1$ ou inférieure à $0$ .

Une probabilité est toujours un nombre réel compris dans l'intervalle $[0, 1]$ .

Quelle est la somme des probabilités de toutes les issues d'un univers $\Omega$ ?

Formule de la probabilité de l'événement contraire $\bar{A}$

Que signifie $A \cap B = \emptyset$ ?

Formule de l'addition des probabilités

Quel est l'intervalle des valeurs possibles pour une probabilité $P(A)$ ?

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité $p$ . On note $$X \sim ...

Comprendre le cours

Continuer à réviser

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

Prérequis

Structure du cours

Modélisation d'une expérience aléatoire

Opérations sur les événements

Notions clés

Univers $$\Omega$$

Événement contraire $$\bar{A}$$

Réunion et Intersection

Exemple résolu

Astuces & analogies

Réunion vs Intersection

Probabilité d'un événement contraire

Erreurs fréquentes

Flashcards

Probabilités : cours sur la loi binomiale B(n, p)

Géométrie dans l'espace : droites et plans